물리전자개론#4-3 전하 중립성, 보상 반도체, 온도에 따른 전자 농도,페르미 레벨 위치

4.5 | CHARGE NEUTRALITY (전하 중립성)

평형상태에서는 중성인 원자만 주입했을 뿐, 우리가 추가적인 정공이나 전자를 넣어주지 않았기 때문에 전기적으로는 중성을 띈다. 물론 미시적으로 보자면 순간순간 에너지 상태에 따라 전자와 정공이 생성되지만 거시적으로 보았을 때는 중성을 말하는 것이다. 이러한 전하 중립조건은 열적 평형상태에서 전자와 정공의 농도를 도핑농도에 대한 함수로 표현(f(N))하는데 사용된다.

4.5.1 Compensated Semiconductors (보상 반도체)

보상 반도체는 같은 영역 내에 donor와 acceptor 원자가 동시에 존재하는 반도체이다(compenstated: 보상된, 보정한). n-type 반도체에 acceptor atom를 도핑하거나 반대로 p-type 반도체에 donor atom을 도핑하여 만들 수 있고 반도체 제작과정에서 자주 형성이 된다. 보상 반도체의 type은 해당 지역에서의 donor와 acceptor의 농도를 비교해서 정해진다. 즉, donor의 농도가 더 높으면 n-type 보상 반도체인 것이다. 만약 두 dopants가 같은 농도를 가지고 있다면 이 반도체는 진성 반도체(intrinsic semiconductor)의 특징을 갖게 된다. 보상 반도체의 에너지 레벨을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

보상 반도체의 에너지 레벨

 

4.5.2 Equilibrium Electron and Hole Concentrations (평형 전자 / 정공 농도)

전기적으로 중성을 띄고 있는 보상 반도체를 생각하자. 이 반도체는 위 그림과 같이 에너지 레벨을 갖고 있을 것이다.
1. dopant의 일부는 이온화가 되지 않아 전자나 정공을 형성하지 못하였고(un-ionized donors/acceptors)
2. 이온화된 전자중 대부분은 전도대로, 정공은 가전자대로 이동하여 (전류에 기여할 수 있는)전자와 정공을 형성한다.
3. 이온화된 전자와 정공중 나머지는 서로 상호작용하여 전류에 기여하지 않는다.
전기적 중성이라 전자와 정공의 농도가 같으므로 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

또는,

\( n_0 \)와 \( p_0 \)는 평형상태에서의 전자와 정공 농도를 의미하며 \( N_d \)와 \( N_a \)는 각각 donor atom과 acceptor atom의 농도, \( N_d^+ \)와\( N_a^- \)는 '이온화 된' donor와 accpetor atom의 농도를 의미하고 \( n_d \)와 \( p_a \)는 donor 에너지 레벨에 있는 전자와 acceptor 에너지 레벨에 있는 정공을 의미한다.

그림에서는 일부 이온화 되어있지 않은 dopant들도 보이지만 우리는 완전 이온화 된 상태를 가정하고 (이전 단원에서 언급했듯이 상온에서는 거의 완전 이온화) 모든 전자와 정공은 전류에 기여한다고 가정한다 (위에서의 3번 항목 무시). 그렇다면 위의 식은 다음과 같아진다.

이전 게시글에서 우리는 \(n_0p_0=n_i^2\)임을 배웠다. 이를 위 식에 적용하면,

또는, 식을 정리하여 2차 방정식 형태로 나타내면,

위 식을 \(n_0\)에 대해 근을 구해보면 손쉽게 평형상태에서의 전자 농도를 구할 수 있다.(정공도 마찬가지)

농도는 음수가 아니기에 + 부호만 살아남고 진성반도체의 경우 N값을 둘다 0을 대입하면 \(n_0 = n_i\)가 나오게 된다. 
***(dopant의 농도가 \(n_i\)보다 수 order 이상 큰 값이면 보통 뺄샘만으로도 majority carrier 농도를 구할 수 있다. 예를 들어 donor의 농도가 5e15이고 acceptor의 농도가 2e15이면 전자의 농도는 두 농도의 차이인 3e15가 된다. 다만 이 농도차가 \(n_i\)값인 1.5e10 값 근처라면 위와 같은 근사는 사용할 수 없다)***

하지만 전도대의 전자의 농도는 단순히 donor의 농도와 intrinsic 전자 농도의 합이 아니다.실제 상황에서는 major dopant(더 많이 주입한 impurity atom)에서 전자의 재분산(redistribution)이 일어난다. n-type 반도체를 생각해보자. 처음에 언급했던 3번 상황과 비슷하게, 모든 donor에 해당하는 전자들이 전도대로 이동하는 것이 아닌, 일부는 가전자대로 움직여 정공과 만나 사라지게 된다(redistribution). 따라서 정공의 농도는 \(p_0\)(평형상태의 intrinsic 정공 농도)보다 적어지게 된다.

전자의 재분산

 

이전 게시글에서 \(n_i\)는 온도에 강력한 함수라는 것을 배웠다.(exp함수,물리전자개론#4-3 The Semiconductor in Equilibrium참고) 따라서 온도가 일정이상 증가하게 되면 평형상태의 전자농도는 \(n_i\)가 결정함을 알 수 있다.

반대로 온도가 매우 낮아 완전 이온화가 아닌 부분 이온화가 일어나게 된다면 실제 농도는 더 낮아지게 된다. 온도가 증가함에 따라 처음에는 전자의 농도가 매우 낮은 Partial ionization 영역, 그후 상온에서의 위식을 따라가는 일반적인 extrinsic 영역, 마지막으로 고온에서 \(n_i\)농도에 의해 결정되는 intrinsic 영역으로 구분할 수 있다. 이렇게 온도에 따른 전자의 농도를 표현하면 다음과 같다.

온도에 따른 전자의 농도 (partial/extrinsic/intrinsic)

 

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4.6 | POSITION OF FERMI ENERGY LEVEL (페르미 에너지 레벨 위치)

이전 게시글에서 페르미 레벨의 위치에 대해 정성적으로 다루어 보았다.(물리전자개론#4-1 The Semiconductor in Equilibrium)

이 단원에서는 페르미 에너지 레벨을 도핑 농도와 온도에 대한 함수로 나타내볼 것이다.

4.6.1 Mathematical Derivation (수학적 유도)

n-type 반도체 하나를 생각해보자.
이전 글에서 배운 (볼츠만 근사가 적용된) 평형상태 전자농도에 대한 식에 ln을 취해주면 다음과 같다.

n-type이므로 \(n_0\)는 거의 \(N_d\)와 같다고 할 수 있다. 따라서 위 식은 다음과 같이 변경할 수 있다.

페르미 에너지 레벨과 전도대와의 에너지 차이는 donor의 농도에 대한 로그함수임을 알 수 있다. donor를 많이 도핑할 수록 우변의 값은 작아지기 때문에 페르미 에너지 레벨은 전도대에 가까워짐을 예상할 수 있다. 만약 보상반도체일 경우 \(N_d\) 대신 \(N_d-N_a\)를 넣어주자.
진성 반도체 페르미 에너지 레벨과의 차이는 \(n_0 =n_i exp[(E_F-E_{Fi})/kt\) 식을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다.

 

동일한 방식으로 p-type 반도체에서도 적용하면 페르미 에너지 레벨은 다음과 같다.

결국 페르미 레벨이 \(E_{Fi}\)보다 높게 위치하면 n-type, 반대의 경우 p-type임을 알 수 있다.

(좌) n-type (우) p-type

 

 

4.6.2 Variation of EF with Doping Concentration and Temperature (도핑 농도와 온도에 따른 페르미 레벨)

[농도]
볼츠만 근사가 유효할 때, 농도에 따른 페르미 레벨의 위치는 다음과 같다.

농도-페르미레벨 그래프

고농도로 갈 수록 각자 해당하는 band energy level에 가까워진다.(더 나아가서 band를 넘어가면 축퇴반도체) 

[온도]
온도에 의한 페르미 에너지 레벨은 다음과 같다.

온도에 따른 페르미 레벨

온도가 높아질 수록 intrinsic 전자 농도가 지배적이므로 \(E_{Fi}\)에 가까워짐을 볼 수 있다. 다만 농도가 높을 수록 extrinsic한 특성이 강하므로 더 높은 온도가 필요함을 알 수있다. 온도가 매우 낮을 경우 볼츠만 근사가 적용되지 않는다. 일부 전자들은 이온화가 되지 않으며 위에서 배운 식들은 통용되지 않는 구간이다.

위 두개의 그래프는 매우 중요하다고 생각한다. 꼭 이해하길 바란다.

 

4.6.3 Relevance of the Fermi Energy (페르미 에너지 연관성)

페르미 에너지 레벨에 대한 중요한 사실은, 하나의 system에 대해서는 페르미 에너지 레벨은 일정하다는 점이다. 이는 나중에 PN 접합에서 사용되는데, 간단히 말하자면 두개의 서로다른 페르미 레벨을 가진 물질이 하나의 system을 구성하면 하나의 페르미 레벨만을 갖는다는 점이다. (증명은 하진 않지만 직관적으로 알고 있어야 한다.)

A는 B보다 더 높은 페르미 레벨을 가진다고 하자. 이 둘을 합치면 B의 페르미 에너지 레벨보다 높은 에너지 상태를 갖는 A의 전자들은 더 낮은 에너지 상태의 빈공간을 찾아서 확산될 것이다. 이러한 과정이 끝나 평형상태에 도달하면 두 물질 안의 전자들은 모두 일정 에너지 이하에서 차있는 형태를 하게 될 것이다. 

간단히 비유하자면, 차있는 물 양이 다른 두개의 물컵을 하나로 합치면 수면은 하나로 일정하게 될 것이다.

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(끝)

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