물리전자개론#5-1 Drift current, Mobility, 산란 효과,속도 포화

이전 단원에서는 반도체가 평형상태에 있을때의 band에서의 전자와 정공의 농도를 알아보았다. 이들은 반도체의 전기적 특성을 결정하며 이를 알기 위해 이러한 전하를 가진 입자(Carrier)들의 이동(Transport)를 알아야 한다. 우리가 배울 이동에는 크게 두가지 종류가 있다 - 표동(Drift)와 확산(Diffusion). Drift는 전기장과 같은 외력에 의한 이동이고 Diffusion은 농도 기울기에 의한 이동이다. 이러한 carrier들의 이동은 반도체의 I-V특성을 결정짓기 때문에 매우 중요하다. 이 단원에서는 열적 평형상태에 대해서만 논의할 것이다. 비평형상태에서는 다음장에서 다뤄본다.

개인적으로는 표동이라는 단어가 익숙하지 않아 Drift와 Diff이 더 편하다.

5.0 | PREVIEW
■ 전기장에 의한 carrier들의 drift mechanism과 drift 전류에 대해 알아본다.
■ Carrier들의 이동도(mobility)에 대해 알아본다.
■ Carrier들의 농도기울기에 의한 diffusion mechanism과 diff current에 대해 알아본다.
■ carrier 의 확산계수(diffusion coefficient)에 대해 알아본다.
■ 균등하게 도핑되지 않은 반도체에 대해 알아본다.
■ 반도체 내부 Hall effect 에 대해 알아본다.

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5.1 | CARRIER DRIFT

외력, 보통 전기장이 가해지면 전하를 가진 입자들은 그에 따라 가속도를 가지고 이동한다(F=qE). 반도체 내부에서도 전도대나 가전자대의 전자와 정공들은 전기장에 의해 운동하게 된다. 이렇게 외부 요인에 의해 내부 전하가 움직이는 현상을 drift라고 한다. 당연하게도, 이러한 현상으로 인해 발생하는 전류를 drift current라고 한다.

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5.1.1 Drift Current Density (표동 전류밀도)

[전류밀도]
전류는 전하의 흐름이고 전류밀도는 전류를 단위면적으로 나눈 값([A/cm^2])이다. 전류밀도는 전하밀도와 전하의 속도의 곱으로 표현할 수 있다. 반도체에서는 전하밀도를 carrier농도와 전하량의 곱으로 표현하므로 전류밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다. 우선 정공에 의한 전류밀도만 생각하자. (반도체의 전반적인 I-V 특성이 아닌 대부분의 경우에는 전류(I)가 아닌 전류밀도(J)로 표현한다. Carrier 농도의 단위와 연관있기도 하고 전류에 비해 전류밀도는 물질의 성질을 나타내기 떄문이다.)

여기서 전하의 속도에 관여하는 것은 외부에서 걸어준 전기장이다. 전기장에 관련된 식은 대표적으로 F=qE가 있다. 이를 뉴턴의 운동법칙과 이어주면 다음과 같다.

여기서 질량은 정공의 가전자대에서의 유효질량을 의미한다. 이 식대로라면 일정한 전기장이 걸려있으면 정공에 걸리는 가속도도 일정하여 결국 시간에 선형적으로 속도가 증가함을 알 수 있다. 물론 우리는 입자의 속도가 무한히 증가하지 않음을 알고 있다. 이 이유는 입자가 이동하는 동안 다양한 방해요소들(Lattice atoms의 열진동, Impurity  atoms와의 충돌로 인한 산란)로 인해 결국 일정한 속도로 수렴하기 때문이다. 우리가 스카이 다이빙을 한다고 해서 중력에 의해 속도가 무한정 증가하지 않는 것과 비슷하다. 따라서 전하의 속도는 다음과 같이 표현한다.

여기서 \( \mu_p \)는 정공의 이동도(mobilitiy)를 의미한다. 이동도(mobilitiy)는 입자가 전기장에 의해 얼마나 잘 움직이는지 나타내는 척도이며 단위는 \(cm^2/V s\) 이다. 이는 입자의 종류, 온도, 매질에 따라 다른 값을 나타낸다.

300K에서의 이동도

따라서 결국 정공의 drift current density는 다음과 같이 표현할 수 있다.

동일한 원리로 전자의 dirft current density는 다음과 같다.(전하량이 반대고 전기장에 의해 움직이는 방향도 반대)

따라서 Drift에 의한 전류밀도는 전자와 정공의 drift 전류밀도의 합이므로 다음과 같다.

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5.1.2 Mobility Effects (이동도 효과)

 입자는 가만히 있어도 끊임없지 진동하거나 이동을 한다. 다만 외력이 없을 경우 알짜 이동거리가 0일 뿐이라 움직임이 없다고 보는 것이다. 이동할때도 역시 단순히 빈공간을 가르고 지나가는 것이 아닌 주변 입자와 무수히 많은 충돌을 하지만 외력에 의해 알짜 이동거리가 존재하게 되는 것이다. 이를 그림으로 표현하면 다음과 같다.

좌) 외력이 없을때의 입자 움직임 우)외력이 있을때 입자 움직임

 아까 위에서 이동도에 대해 정의를 했다. ((\( v=\mu E \)) 이제 이 이동도를 다른 parameter를 사용하여 표현해보자.
뉴턴 제2의 법칙과 전기력에 대한 식을 합쳐보면 다음과 같다. 

여기서 dt를 우변으로 넘기고 양변을 적분하면 속도에 대한 식을 얻을 수 있다. (초기값은 0이라고 가정한다.)

이 식은 충돌에 의한 속도 수렴을 고려하지 않은 식이기에 시간 t에 선형적으로 비례함을 볼 수있다. 하지만 현실세계에선 이동도를 정의했을때 언급했던 것 처럼 충돌에 의해 속도는 무한정 증가하지 않는다. 입자가 충돌전까지는 저 식에 의해 속도가 증가하지만 충돌한 후 부터는 속도가 증가하지 않음을 예상할 수 있다. 따라서 우리는 시간 t를 평균충돌시간 \(\tau\)(mean time between collision, 입자가 다른 입자와 충돌하기까지의 시간의 평균)으로 대체할 것이다.  
t를 \(\tau\)로 대체한 후 이동도의 정의와 식을 비교해보면 이동도를 다른 parameter로 표현할 수 있게 된다.

물질이 정해지면 이동도에 영향을 주는 요소는 평균충돌시간인데 이는 온도에 대한 함수이다. 평균충돌시간은 충돌방식에 따라 두가지 메커니즘이 존재한다: 포논 또는 격자 산란(phonon or lattice scattering), 이온화 불순물 산란(ionized impurity scattering). 

-포논 또는 격자 산란(phonon or lattice scattering)
포논(phonon)은 lattice atom의 열적 진동을 입자화 한 것이다(입자와 파동의 이중성). 광자(photon)역시 전자기파를 입자화 한 것으로 이와 비슷하다고 생각하자. 열에 의해 lattice atom은 진동하는데 이 진동이 커질 수록 입자가 이동하면서 lattice atom과 충돌할 확률이 높아진다. 충돌은 입자의 속력의 감소를 유발하므로 이는 곧 입자 이동도의 감소를 의미한다. 즉, 열에너지 → 격자 진동→ 충돌 →속도 감소 (이동도 감소) 의 흐름이 된다. 따라서 온도가 높아짐에 따라 이동도가 낮아짐을 알 수 있다. 일반적으로 이는 다음과 같은 관계식을 갖는다.

-이온화 불순물 산란(ionized impurity scattering)

도핑된 불순물 원자들은 전자 또는 정공과 전기적 상호작용을 한다. 여기서 발생하는 쿨롱힘은 carrier의 충돌이나 산란을 유발하는데 이에 따른 이동도는 도핑농도에 반비례하고 온도에 비례한다. 즉, 이동도는 불순물 원자가 많을 수록 감소하고 온도가 높을 수록 증가한다. 비슷한 예시로, 한 학생이 복도를 달려가고 있는데 복도에 사람이 많아서 다른 사람들과 치이는 일이 많으면 속도는 감소한다. 이처럼 불순물 원자가 많으면 carrier에 가해지는 쿨롱힘이 많아지기 때문에 이동도는 감소하게 된다. 또한 온도가 높으면 carrier 자체의 에너지가 많아지기 때문에 속도가 증가함은 당연하다. (여기서 lattice scattering에 대한 효과는 생각하지 않는다.) 또한 속도가 빠르면 주변의 불순물 원자들과의 상호작용하는 시간도 감소하기 때문에 이에 의한 영향은 더욱 감소하게 된다. 따라서 이동도는 다음과 같은 관계식을 갖는다.

각 산란 방식에 의한 이동도 그래프는 아래와 같다.

a) 전자 b) 정공의 온도에 따른 이동도 그래프 (at Si)

 

전자와 정공의 도핑농도에 따른 이동도 그래프

그렇다면 위의 두개의 산란 메커니즘을 모두 고려한 이동도는 어떻게 되는가?  위에서 정의했던 평균충돌거리 \(\tau\)는 입자가 충돌하기까지의 평균 시간을 의미한다. 그렇다면 \(dt/\tau\) 는 미소 시간 dt동안 충돌할 확률을 의미한다. 그렇다면 총 충돌 확률은 격자 산란에 의한 충돌확률과 불순물 산란에 의한 충돌확률의 합일 것이다. I를 impurity, L은 lattice scattering을 의미하며 이를 식으로 나타내면,

여기서 아까 구한 이동도 식을 이용하여 공통된 요소들을 제거하면 총 이동도는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

 

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5.1.3 Conductivity (전도도)

전자기학 시간때 전도도와 전류밀도의 관계는 \(J=\sigma E \)로 배웠었다. 위에서 반도체에서 전류밀도 식을 유도했으니 (\( J_{drift}=e(\mu_nn+\mu_pp)E \))전도도 역시 쉽게 구할 수 있다. 비저항과 전도도는 역수관계이므로 다음과 같다.

이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

300K Si에서 도핑농도-저항 그래프

도핑농도가 높을수록 저항이 감소함을 볼 수 있다. 정확히 식처럼 선형그래프가 아닌 이유는 아까 5.2에서 배운 다양한 이동도 효과가 존재하기 때문이다. 조금 정성적으로 해석하자면, 도핑농도가 클 수록 carrier가 많아지기 때문에 전도도가 증가한다는 것을 예상할 수 있다.n-type과 p-type의 차이가 나는 것은 전자와 정공의 유효질량 차이때문이다. 일반적으로 전자의 유효질량이 적기 때문에 더 빨리 움직일 수 있고 이는 곧 낮은 저항을 의미한다.

그렇다면 온도에 따른 전도도는 어떻게 되는가? 우선 온도 '역수'에 대한 '전자 농도' 그래프는 다음과 같다.

온도 역수-전자농도 그래프, 푸른 점선은 전도도

전자의 농도가 높아질 수록 전도도 역시 높아지므로 어느정도 일치한다 해도 무방하다. 대신 전도도는 파란색 점선으로 표기하였다. 위 그래프에서는 온도를 3부분으로 나눌 수 있다: 좌측부터 고온-상온-저온.
1. 고온 (n=intrinsic, \(\sigma\)=온도에 비례)
고온에서는 이전에 배웠듯이 intrinsic carrier가 온도에 exp함수이므로 dopant보다 intrinsic한 특성이 지배적이게 된다. 따라서 전자의 농도는 검정색 점선으로 표기한 \(n_i\)에 근접하게 된다. 전도도 역시 온도가 올라갈 수록 carrier의 수가 증가하므로 따라서 증가하는 모습을 볼 수 있다.
2. 상온 (n=extrinsic=온도에 거의 무관, \(\sigma\)=온도에 반비례 )
상온에서는 도핑농도에 해당하는 전자농도를 어느정도 일정하게 유지하고 있다. 온도가 감소할 수록 전자의 농도가 감소하지만 무시할 정도이다. 여기서는 그래프가 거의 일직선을 유지하고 있다. 다만 온도가 감소함에 따라 전도도는 증가하는데 이는 lattice sattering이 감소하여 전자의 이동도가 증가하기 때문이다. 
3. 저온 (부분 이온화,partially ionization)
저온에서는 dopant의 완전한 이온화가 일어나지 않고 온도가 낮을 수록 그 비율은 높아진다. 따라서 온도가 낮아질 수록 carrier가 감소하게 되고 이에 따라 전도도 역시 낮아지게 된다. 하지만 전도도는 lattice scattering에 의한 이동도 증가 효과때문에 carreir농도만큼 감소하지는 않는다.

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5.1.4 Velocity Saturation (속도 포화)

일반적으로 carrier의 속도는 전기장에 비례하지만 높은 전기장에서 carrier의 농도는 일정하게 유지된다.

이전에 우리가 속도를 논했을때 이동도는 전기장에 의한 함수가 아니었다. 이는 곧 전기장이 증가함에 따라 속도 역시 선형적으로 증가한다는 말이다. 이 속도는 열적 진동에 의한 속도(random-thermal velocity)와 표동 속도(drift velocity)의 합이다. 그렇다면 속도와 에너지를 한번 계산해보자. 
열역학에서 상온(300K)에서의 입자가 가지는 열에너지는 일반적으로 \(\frac{3}{2}kT\)였다. 이는 열적 진동에 의한 에너지이므로 운동에너지 공식에 대입하면 열적 진동에 의한 속도를 구할 수 있다.

 

여기서 v는 \(10^7 cm/s \)정도가 나온다.
반면 일반적인 Si에서 전자의 이동도는 \(\mu_n=1350 cm^2/V-s\)이고 75V/cm의 전기장이 가해졌을때 전자의 속도는 \(10^5cm/s\)정도로 열적 진동에 의한 속도에 비해 매우 작은 부분을 갖는다. 다만 30kV/cm 이상의 높은 전기장이 걸릴 경우 전자의 속도는 열적 진동에 의한 속도에 가까워진다. 이렇게 되면 전자는 optical-phonon을 생성하여 주변의 atom들과 강하게 상호작용을 하게 되어 더이상 속도가 증가하지 않는다. 이를 그래프로 보면 다음과 같다.(optical-phonon 개념은 나중에 heterojunction optical semiconductor에서도 사용된다.)

전기장에 의한 carrier drift velocity[

[negative differential mobility]
그러면 저중에 자기 혼자 이상한 양상을 보이는 GaAs는 왜 저런건가요? 이는 GaAs의 고유한 E-k diagram때문에 발생하는 현상이다. Gum effect라고 하는 이 현상은 높은 전기장에서 carreir의 속도가 정점을 찍고 점점 내려가는 현상이다.

 

GaAs의 E-k diagram

GaAs의 E-k 그래프를 보면 전도대에서  [111]방향으로의 upper valley가 존재하는 것을 볼 수 있다.이는 lower valley에서 어느정도 이상의 에너지를 갖게 되면 일부가 upper valley로 떨어지게 된다. 이 upper valley로 가게 되면 전자가 가지는 에너지가 커지기 때문에 유효질량 역시 증가하게 된다. 이로인해 증가한 유효질량은 결국 속도의 감소를 유발하게되고 위와 같은 속도 그래프 개형을 그리게 되는 것이다.

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(5-2)에서 계속

물리전자개론 #5-2 확산전류, 아인슈타인 관계식, 홀 효과

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