물리전자개론 #5-2 확산전류, 아인슈타인 관계식, 홀 효과

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5.2 | CARRIER DIFFUSION 캐리어 확산

이전 글에서는 외력에 의해 carrier가 이동하는 drift(표동)에 대해 배웠는데  이번에는 또다른 carrier 이동 메커니즘인 diffusion(확산)에 대해 배워 볼 것이다. 확산은 입자가 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르는 과정을 의미한다. 농도 기울기가 형성 되는 곳에는 모두 diffusion이 발생 할 수 있으며 carrier가 확산되어 흐르게 되는 전류를 diffusion current(확산전류) 라고 한다.

 

5.2.1 Diffusion Current Density 확산전류밀도

지난시간에 표동전류밀도(drift current density)를 구했듯이 이번에도 확산전류밀도(diffusion current density)를 구해볼 것이다. 일반적인 반도체 내부에서의 확산전류를 구하기는 고려해야할 요소가 너무 많으니 우선 1차그래프 형태의 농도기울기를 가지는 1차원 carrier 보관함을 생각해보자. 우리는 x=0 인 지점에서의 전류밀도(carrier 흐름 / 단위시간 단위면적)를 볼 것이다. 우선 x=0 지점에서 carrier 농도그래프를 그려보자.

x=0인 지점에서 농도-거리 그래프

여기서 l은 평균자유거리(mean free path, 충돌하기까지의 평균 이동거리)보다 작은 임의의 미소거리를 의미한다 (충돌하면 입자가 어디로 튈 지 모르니까 미리 가정). 그러면 각 지점에서 확률적으로 봤을때 움직이는 입자의 절반은 좌측(-l)쪽으로, 절반은 우측(+l) 쪽으로 이동할 것이다. 그러면 x=0을 통과하여 오른쪽(+l)으로 움직이는 입자들의 net flow는 좌측에서 x=0으로 오는 입자들에서 우측에서 x=0으로 오는 입자들의 갯수를 뺀 것이다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

이 식을 x에 대해 테일러 전개로 미분형식으로 풀어쓰게 되면 농도기울기에 대한 net flow(여기서 F)식을 구할 수 있다.

방향은 농도기울기가 양수이므로 좌측(-l방향)을 향하고 있다. 우리가 구하고자 하는 diffusion current는 carrier net flow에 전하를 곱한 값이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

위 식이 의미하는 바는, 전류밀도는 carrier의 농도기울기에 비례한다는 것이다. 다만 위 식은 '전자'에 대해 기술한 전류밀도이므로 정공일 때는 전하의 부호가 반대이기 때문에 전류의 방향도 반대가 된다는 것을 유의해야 한다. 따라서 확산 전류밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

전자의 확산전류밀도

정공의 확산전류밀도

여기서 D는 각 입자에 대한 확산계수(diffusion coefficient)로 결정구조나 온도, 원소의 종류에 따라 다른 고유의 값을 갖는다.

 

5.2.2 Total Current Density 총 전류밀도

Carrier가 움직이는 두가지 기작 - 표동(drift)과 확산(diffusion)에 대해 배웠고 해당 기작에 의한 전류밀도도 알았으니 두 값을 더하면 총 전류밀도를 알 수 있다. 총 전류밀도는 [전자의 Drift] + [정공 Drift] + [전자 Diffusion] + [정공 Diffusion] 이며 식으로 나타내면 (1차원 상에서) 다음과 같다. 3차원 상에 적용하면 미분항을 gradient로 바꿔서 표현해주자.

여기서 물질의 특성을 결정하는 것은 각 항의 coefficient들 - 전자,정공의 이동도(\(\mu\), mobility) 와 확산계수(D, diffusion coefficient) 이며 얼마나 전기장이나 농도기울기에 민감하게 움직이는지 말해주는 척도가 된다. 이들은 coefficient라고 적혀있긴 하지만 서로 독립적으로 고유한 값을 가지지는 않고 서로 유기적으로 연관되어 있다 (다음장에서 배울 것이다). 총 전류밀도는 4개의 항으로 구성되어있지만 일반적인 경우 전류에 가장 Major하게 기여하는 하나만 고려한다.

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5.3 | GRADED IMPURITY DISTRIBUTION 점진적 불순물 분포

대다수의 반도체의 경우 도핑과정(Implantation, Diffusion 등...)특성상 거리에 따라 점진적으로 증가하는 도핑농도를 갖게 된다. 이러한 non-uniformly doped semiconductor의 열적평형상태에서 아인슈타인 관계식과 이동도와 확산계수의 관계식에 대해 배워 볼 것이다.

 

5.3.1 Induced Electric Field 유도 전기장(내부)

 반도체에 도핑할 때에는 표면에 dopant를 쏴주는 방식으로 진행되기 때문에 거리에 비례해서 농도가 달라지게 된다. 도핑 농도에 따라 전도대나 가전자대의 에너지 레벨이 달라지는 반면 반도체 전반적인 페르미 에너지는 일정하기 때문에 Energy band diagram을 그리게 되면 다음과 같이 그릴 수 있다.

Graded doped semiconductor Energy band diagram

이 경우 페르미 레벨이 +x 방향으로 갈 수록 intrinsic과 가까워 지므로 +x 방향으로 갈 수록 농도는 감소함을 알 수 있다. 즉 전자는 농도기울기에 의해 +x 방향으로 흐르게 된다. 반면 확산에 의해 carrier, 여기서는 전자가 한쪽 방향으로 흐르게 되면 이로 인해 전하 불균형이 생겨 내부적으로 전기장을 형성하게 된다. 이러한 전기장은 왼쪽이 (+), 오른쪽이 (-)를 띄게 되므로 전자는 -x 방향으로 쿨롱힘을 받게 된다. 시간이 흘러 농도기울기에 의한 확산과 내부 전기장에 의한 쿨롱힘이 같아지면 열적 평형상태에 도달하게 된다. 
 [내부 전기장 E]
전기장은 푸아송 방정식(Possion's equation)을 통해 구할 수 있다 - 전기장은 전위를 미분한 값에 -를 취한 값이다.
우선 전위(electrical potential)는 페르미 에너지 레벨 차이를 전하로 나눈 값이다.

이 전위를 거리에 대해 미분하게 되면 내부에 형성되는 전기장 크기를 구할 수 있다. 

즉, 내부 전기장은 \(E_{Fi}\)의 기울기 값에 비례함을 알 수 있다. 이 값을 정확히 알기 위해서는 \(\phi\) 값을 알아야 한다.
이 상황을 조금 더 쉽게 해석하기 위해, 열적 평형상태에서의 전자농도(\(n_0\))가 dopnat농도(\(N_d\))와 거의 비슷하다고 가정하자. 그렇다면 전자농도 식을 통해 \(\phi\)는 다음과 같이 구할 수 있다.

이 값을 위 식에 다시 넣으면 \(E_x\)값을 다음과 같이 구할 수 있다.

결국 내부 전기장 \(E_x\)의 크기는 도핑농도에 반비례하고 농도 기울기에 비례한다.
이 현상을 정성적으로 생각해보면, 우선 도핑 농도 기울기가 클 수록 확산은 크게 일어나므로 이를 평형상태에 이르게 하기 위해서는 큰 내부 전기장이 필요하다는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 높은 도핑농도의 경우 농도차이가 나더라도 농도 비율로 보았을 때 작은 비율만을 차지하므로 상대적으로 작은 전기장이 필요하다는 것으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 10에서의 5차이와 50에서 5차이는 같은 5차이지만 비율만 보았을 때 전체의 50%와 10%차이므로 확산의 정도가 다름을 예상할 수 있다.

 

5.3.2 The Einstein Relation 아인슈타인 관계식

위에서 점진적 도핑에 의해 내부적으로 확산과 표동의 평형이 이루어 진 경우를 보았다. 이 경우 결국 열적 평형상태이므로 전류밀도는 없음은 자명하다. 즉, 식으로 나타내면 다음과 같다.

위와 마찬가지로 quasi-neutrality 를 가정하여 \(n\approx N_d\) 라고 하자, 위에서 구한 내부전기장 식(\(E_x\))를 식에 넣고 정리하면

\(N_d(x)\)를 소거할 수 있고 식을 정리하게 되면 이동도와 확산계수에 대한 관계식을 구할 수 있다. 이를 아인슈타인 관계식(Einstein's relation)이라고 한다.

각 상수들은 온도가 일정할 때 비례함을 알 수 있다. 이동도가 클 수록, 확산계수도 크다. 빠르게 움직이는 입자일 수록 확산도 빨리 되는 것은 어찌보면 당연하다. 300K에서 대표적인 값은 다음 표에서 볼 수 있다.

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*5.4 | THE HALL EFFECT (홀 효과)

홀 효과는 전자기장에서 움직이는 carrier가 받는 힘을 의미한다. 전기력 식에서도 알 수 있듯이 carrier가 받는 힘은 전자기장의 방향에 따라 달라지게 되고 고등학교때는 흔히 '플레밍의 왼손법칙'으로 배웠었다. 아래 식에서 cross product임을 유의하자.

플레밍의 왼손법칙

전자기학에서도 다양한 분야에서 사용되며, 특히 반도체에서는 이를 활용하여 다음과 같은 사실을 알아낼 수 있다.
1. n-type인지 p-type인지
2. Major carrier의 농도와 이동도
어떻게 판단할 수 있는지 아래 그림에서 살펴보도록 하자.

 현재 위 그림에서 자기장(B)은 +z 방향으로 가해지고 있다. 이 자기장으로 인해 움직이는 전자나 정공은 특정 방향으로 힘을 받게 된다. 현재 device에 걸려있는 전압 방향을 보면 -x에서 +x 방향으로 걸려있다. 이는 정공은 +x방향으로, 전자는 -x방향으로 움직인다는 것과 동일하다. 두 입자 모두 +z 자기장에서 -y방향으로 힘을 받게 되어 해당 방향으로 휘게 된다(파란색 화살표). 이렇게 carrier가 한쪽으로 몰리게 되면 y축상에 내부적으로 전기장이 발생하게 된다. 이때, Major carrier의 종류에 따라 전기장의 방향이 달라질 것이다. 즉, p-type인 경우, majority carrier가 정공이므로, -y에서 +y 방향으로 전기장이 걸릴 것이다. 반면에 n-type의 경우 전자가 majority carrier이므로 반대 방향으로 전기장을 형성하게 된다. 즉, 자기장 속에서 소자에 전압을 걸어주었을 때, 내부 전기장의 방향을 보고 type을 알아낼 수 있다.
시간이 흘러 steady -state 상태가 되면, 내부적으로 carrier가 받는 net Force는 0이다. 즉, 자기장에 의한 힘과 유도된 내부 전기장에 의한 힘의 합은 0이 된다. 이를 식으로 나타내면, 

또는,

여기서 유도된 \(E_y\)를 Hall field 라고 한다. 이 Hall field에 의해 생성된 y축 상 전압은 Hall voltage라고 하고 크기는 다음과 같다.

우리는 이 전압을 측정하여 더 많은 것(농도,이동도\)를 알 수 있다.
먼저 Hall field식을 hall voltage 식에 대입하면 다음과 같다.

여기서 우리는 W와 B는 아는 값이지만(우리가 설정하는 값) x축 방향으로의 속도는 아직 모른다. 이는 p-type 반도체에서 전류밀도 식으로 부터 알 수 있다. 전류밀도 식 \(J= evp= current /area\)로 부터 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

  위 두식을 결합하면 캐리어 농도 p에 대해 알 수 있다. 같은 방식으로, n-type에서도 다음과 같이 구할 수 있다.

즉, 소자에 자기장과 전압을 걸어준 후 hall voltage를 측정하면 carrier concentration을 알 수 있다.

이를 다시 전류식을 활용하면 이동도 역시 쉽게 알 수 있다.
p-type에서 전류밀도 식은\( J_x=ep\mu_pE_x = \frac{I_x}{Wd} \) 이고 \(E_x = \frac{V_x}{L}\) 이므로, 이동도(mobility)에 대해 식을 정리하면 다음과 같다.(n-type도 동일)