물리전자개론 #6-2 과잉캐리어의 연속방정식, 확산방정식

 

 

6.2 과잉 캐리어들의 특성 (CHARACTERISTICS OF EXCESS CARRIERS)

과잉캐리어들로 캐리어 농도의 변화가 이뤄지는 것도 알았고, 이들의 생성과 재결합에 대해서도 알아보았다. 무엇보다 과잉캐리어들은 서로 독립적이지 않고, 항상 전자와 홀이 쌍으로 이루어져 생성 또는 재결합이 되기 때문에 같은 유효 확산계수와 유효 이동도를 가지게 된다. 그렇다면 이들 과잉캐리어의 확산계수와 이동도는 어떤 특성을 가지는지 알아보고 싶다. 이를 알기 위해서는 우선 연속방정식(continuity equations)과 켤레전하 전송방정식(Ambipolar transport equation)을 알아야 한다.  

(우리가 다룰 반도체들은 모두 low-injection을 가정한다)

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6.2.1 연속방정식 (Continuity Equations)

모든 모델을 설명할때 가장 단순한 케이스에서 시작하듯이, 우리도 과잉 캐리어가 움직이는 dx,dy,dz의 단위부피 상자를 생각하자. 공간에서 전자와 홀은 다양한 방향으로 흐를테지만 x축 방향에 한정하여 홀의 움직임만을 생각하자. 이 상자에 +x축 방향으로의 홀 유량(\(F_{px}\),hole flux)을 함께 아래 그림에 표현하였다.

\(F_{px}^+(x)\)는 x지점에서의 홀의 flux이고 \(F_{px}^+(x+dx)\)는 x+dx에서의 홀의 flux이다(단위는 \(holes/cm^2\). 홀 flux가 어느정도 gradient를 가지고 있을 것이기에 이 두값의 차이는 flux 기울기에 dx를 곱한 값 만큼에 해당하는 값 차이일 것은 자명하다. 이를 식으로 표현하면,

x+dx에서의 flux = x에서의 flux + dx 만큼의 flux 차이

이는 \(F_{px}^+(x+dx)\)의 테일러 급수(Talyor's expansion)이기도 하다(미소거리 dx이기 때문에 3번째 항부터는 무시 가능).  
 자, 이제 위 그림의 상자에서 홀의 개수(농도가 아니다!)가 시간에 따라 얼마나 변하는지 알고 싶다. 이를 식으로 표현하면 홀의 농도(p)에 상자의 부피를 곱하고(dx dy dz) 시간에 대해 미분(/dt)하면 될 것 같다. 

시간에 따른 홀의 개수 변화

시간에 따른 홀의 개수 변화는 x에서 들어오는 홀의 개수에서 x+dx에서 나가는 홀의 개수의 차이이기도 하다. 위에서 \(F_{px}\)는 x축 방향으로의 홀 flux이므로 단위 면적(dy dz)를 곱해주면 홀의 개수가 된다. 그리고 이는 위에서 알아봤듯이, flux의 gradient로 표현할 수 있다.

시간에 따른 홀의 개수 변화 (2)

현실 반도체에서는 저 상자 내부에서도 생성(생성률 \(g_p\))과 재결합(재결합률:\(\frac{p}{\tau_{tp}}\))이 지속적으로 이루어지고 있으니 이를 반영해서 식을 완성시키자.

전자의 경우도 동일한 과정으로 유도 가능하다. 양변 dxdydz 소거하면 최종적으로 1차원 연속방정식을 구할 수 있다.

홀의 연속방정식

전자의 연속방정식

(n,p: carrier 농도, F: carrier flux, g:생성률, \(\tau\): carrier life time)
반도체 내부의 캐리어들의 시간에 따른 변화와 공간적 분포는 위 식에 의해 결정된다.

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6.2.2 시간의존 확산방정식(Time-Dependent Diffusion Equations) @ 1차원

5단원에서 우리는 전류밀도를 drift와 diffusion에 대해 식을 유도했었다.

전류밀도 식(chaper5)

전류밀도를 각 carrier의 전하로 나누게 된다면 carrier flux 가 될 것이다. 그러면 여기서 구한 flux식을 6.2.1에서 구한 연속방정식에 대입해서 식을 정리해보자.

전류밀도식 + 연속방정식

또는, pE,nE항의 미분을 풀어서 정리하면

1차원 time-dependent diffusion equations

1차원에서의 시간의존 확산 방정식을 구할 수 있다. 위 식에서는 각 carrier들의 시간과 공간(1차원)의 특성을 표현한다. 각 carrier 농도는 과잉 carrier 농도+열평형 농도임을 인지하자. 여기서 열평형 농도는 공간이나 시간에 무관한 상수이므로 미분식에서 제외할 수 있다. 따라서 carrier농도 대신 과잉carrier 농도에 대한 식으로도 표현가능하다.

\(\delta p,\delta n \)은 과잉 carrier 농도, \(n,p=n,p_0 + \delta n,p\)

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