물리전자개론 #6-1 비평형 과잉캐리어, 캐리어의 생성률,재결합률과 수명

Chapter 6. Nonequilibrium Excess Carriers in Semiconductors

 

[6.0 preview]

 이때까지 우리는 '평형(Thermal equilibrium)'상태에서의 반도체만 알아보았다. 하지만 대부분의 반도체는 전압이 가해져서 구동중인, '비평형 상태(non-equilibrium)'에 존재하기에 시간에 따른 캐리어 농도의 변화를 아는 것은 매우 중요하다. 이 상태에서는 추가적인 에너지로 인해 전도대나 가전자대에서 추가적인 홀과 전자들이 발생할 것이며 이를 '과잉 캐리어(excess carriers)' 라고 한다. 이전 단원에서 배웠듯이, 열평형 상태에서의 캐리어 농도는 오직 구성원소와 온도 및 제조공정에만 의존하기에 인가된 바이어스에 의한 시간에 따른 변화는 없고 시간에 따른 캐리어 농도 변화는 오직 과잉 캐리어들에 의해서만 달라지기 때문에 과잉 캐리어들의 시간에 따른 변화 - 켤레전하 전송방정식(Ambipolar transport equation)을 이해하는 것이 이번 단원의 목표이다.

Preview
-과잉 캐리어들의 생성과 재결합 과정(generation and recombination)
-캐리어 생성률, 재결합률,수명(lifetime)
-켤레전하 전송방정식(Ambipolar transport equation)
-준 페르미레벨 (Quasi-Fermi level)
-결함(defect)이 과잉 캐리어의 농도와 수명에 주는 영향

---

6.1 캐리어의 생성과 재결합(carrier generation and recombination)

 세상에 무에서 유를 창조하는 것이 없는 것 처럼, 전자와 홀 역시도 갑자기 뿅하고 튀어나오는게 아니다. 숫자 0도 뭐가 없는 것 처럼 보이지만 -1과 +1로 나눌 수 있는 것처럼, 캐리어의 생성 역시 밴드안에 중성인 어느 원자에서 모종의 이유로 전자와 홀이 생성되는 것이고 재결합은 전자와 홀이 만나면 -1+1=0 인 것처럼 서로 사라지게 된다. 반도체 내부에서는 가전자대의 전자가 전도대로 천이하게 되면 가전자대에서는 정공이, 전도대에서는 전자가 쌍생성 되게 되며 반대로 전도대에서 전자가 가전자대로 천이하게 되면 가전자대의 홀과 만나서 쌍소멸 하게된다. 이러한 과정을 band-to-band generation/recombination이라고 하며 이처럼 전자와 홀은 항상 쌍을 지어 생성되기 때문에 각자 독립적으로 움직이지 않는다.

전자와 정공의 생성과 재결합

본격적으로 과잉 캐리어들을 다루기 전에 용어부터 확실히 구분하고 가자. 서로 비슷비슷하기 때문에 계속 헷갈린다.
\( n_0 , p_0\) : 열평형 상태에서의 캐리어 농도
\(n,p\) : 총 캐리어 농도
\(\delta n, \delta p\) : 과잉 캐리어 농도(총 캐리어와 열평형 상태 캐리어 농도의 차이)
\(g',R',\tau'\) : 각각 과잉캐리어 생성률, 재결합률, 수명(lifetime) ('는 과잉 캐리어를 의미한다)

생성과 재결합을 위 기호들을 사용하여 다시 나타내 보자. 생성은 외부에너지(대체로 빛에너지)에 의해 가전자대의 전자가 전도대로 천이되는 경우, 전도대에서는 천이된 전자만큼 과잉 전자가 생성되고 가전자대에서는 빠져나간 만큼 홀이 생긴다. 반대로 재결합의 경우 전도대의 전자가 에너지를 잃어 전도대로 천이되면 전도대의 임의의 정공과 합쳐져서 소멸된다. 열평형 상태에서의 전자,홀 농도는 외부에너지와 무관하므로, 이들은 모두 과잉 캐리어 농도에만 영향을 미친다.

생성과 재결합 과정

기존의 (low-level injection 가정) 열평형 상태에서는 생성률과 재결합률이 0이거나 동일하였다. 열평형 상태에서의 캐리어 농도의 곱은 항상 \(n_0p_n=n_i^2\)로 일정했다. 단순히 생각해보았을때 전자와 정공의 농도가 열평형 상태보다 많으면 재결합이, 적으면 생성이 많아짐을 유추할 수 있다. 따라서 우리는 열평형상태에서 벗어난 정도를 \(n_i^2 - n(t)p(t)\)로 정의할 것이다. 전자 또는 홀의 시간에 따른 농도변화는 생성과 재결합률에 의해 결정될 것이고 이는 곧 열평형상태에서 벗어난 정도에 비례함을 알 수 있다. 이를 비례상수 \(\alpha_r\)를 사용하여 식으로 나타내면,

여기서 반도체를 p-type이라고 가정하자. 그러면 \(p_0 >>  n_0\)가 되며, \(n(t)=n_0+\delta n\)이고 \(n_0\)는 시간에 대한 상수임을 이용하여 과잉캐리어에 대해 미분방정식을 풀자. 그러면 과잉 캐리어의 시간에대한 함수를 구할 수 있다.

여기서 t에 대한 상수를 묶어 \( \tau_{n0}=(\alpha_r p_0)^{-1} \) 라고 정의하며 p-type에서 과잉 전자의 식이므로 과잉 소수캐리어의 수명(excess minority carrier lifetime)이라고 한다. 
 이제 이를 이용하여 재결합률(Recombination rate)를 알아내보자. 전자의 재결합률은 과잉 전자의 변화율에 마이너스를 곱한 것이다. (재결합률이 양수면 과잉 전자는 사라지는 것이므로) 따라서 식으로 나타내면,

p-type 반도체에서 재결합률

재결합은 전자와 정공이 쌍을 이뤄야 하므로 홀의 재결합률도 같은 값이다. 

p-type 반도체에서 재결합률

같은 방법으로 n-type 반도체에서의 재결합률을 유도하면 다음과 같다.

n-type 반도체에서 재결합률

반도체에서 재결합률은 minority carrier lifetime에 의존함을 알 수 있다.
정성적으로 해석해보면, 재결합률은 전자와 정공중에서 더 적은 Carrier 농도에 의존한다.(화학반응에서의 rate determinatin step과 같은 원리) 예를 들어 p-type 반도체에서 정공이 아무리 많아봤자 전자가 있어야 재결합이 가능하기 때문이다. 이때 전자가 수명이 길어서 길게 생존하면 정공과 만날 확률이 높아질 것이다. 이는 곧 재결합이 잘 된다는 뜻이므로 재결합률은 minority carrier lifetime에 반비례할 수 밖에 없는 것이다.

---