물리전자개론#4-2 평형상태의 반도체,mass action law,페르미-디락 적분,축퇴와 비축퇴, 확률함수

4.3 | THE EXTRINSIC SEMICONDUCTOR (외인성 반도체)

우리가 외부 요소가 없는 반도체를 진성반도체(intrinsic semiconductor)라고 했고 평형상태에서 진성반도체를 살펴보았다. 실제 반도체는 impurity를 추가하여 전기적 성질을 적절히 조절한 반도체를 사용하는데 이를 외인성 반도체(extrinsic semiconductor)라고 한다. 외인성 반도체는 어떤 원소를 도핑하느냐에 따라 정공이 지배적일수도 있고 전자가 지배적일 수도 있다.

4.3.1 Equilibrium Distribution of Electrons and Holes (전자와 정공의 평형상태 분포)

 donor 또는 acceptor를 추가할 경우 전자와 정공의 분포가 달라지는 것은 명확하다. 더불어 페르미 에너지 \( E_F \) 도Fermi-Dirac 분포와 관련이 있으므로(전자가 존재할 확률이 0.5인 지점) 이 역시 변할 것임을 알 수 있다.

진성 반도체에 임의의 donor 또는 acceptor를 도핑했다고 하자.(이때 외부 atoms은 기존 반도체 atoms 개수보다 매우 적다고 가정한다) Donor를 도핑할 경우 전자 분포함수가 전도대쪽으로 올라감을 배웠다. 따라서 \( E_F \)가 전도대 부근으로 이동하며 전자농도 역시 증가하게 된다. 동일한 과정으로 acceptor 도핑의 경우 반대의 상황을 야기한다. 이를 그래프로 나타내면 아래와 같다.

(좌) Donor 도핑 (우) Acceptor 도핑

그리고 우리는 평형상태에서  전자와 정공의 농도는 다음과 같다고 배웠다.(밑첨자 0은 평형상태를 의미) 위의 상황을 대입해보면 동일한 결과를 나타낸다. 페르미 에너지의 변화가 평형상태에서 carrier들의 농도를 결정하는 것이다. 전 글에서도 언급했지만, \(n_0\)의 값이 \(p_0\)보다 크다면 n-type 반도체, 그 반대는 p-type 반도체라고 한다.

 위 식처럼 평형상태에서 전자와 정공농도를 표현할 수 도 있지만 다른 방법으로도 표현할 수 있다. exp항의 \(E_F\)를 \(E_{Fi}\)까지 사용하여 표현하면 다음 식처럼 표현할 수 있다. 

진성 반도체의 평형상태 carrier 농도 식을 사용하여 평형상태의 전자농도를 표현하면 다음과 같다.

동일한 방법으로 정공 농도도 표현하면 다음과 같다.

 식을 간단하게 살펴보자. \(E_F\)가 \(E_{Fi}\)보다 클 경우  평형상태에서 전자의 농도는 커지고 정공은 작아진다. 반대로 \(E_F\)가 \(E_{Fi}\)보다 작으면 전자의 농도는 작아지고 정공의 농도는 커진다. (개인적으로는 \(E_F\)가 전자의 에너지라고 생각하면 떠올리기가 쉬웠다.)

 

4.3.2 The n0 p0 Product (mass action law, np곱)

위의 평형상태 carrier 농도식을 곱해보면 exp항이 소멸되는 것을 볼 수 있다.

또는, 이를 조금 풀어쓰면 다음과 같다.

즉, 온도와 물질이 주어지면, 평형상태에서의 carrier 농도곱은 일정하다는 것을 알 수 있다. 굉장히 단순해 보이지만 반도체 평형상태를 표현하는 가장 기초적인 원리중 하나이다. 여기서 중요한점은, 위 식은 F-D함수의 볼츠만 근사형태에서 나온 식이라는 것이다. 이말은 볼츠만 근사(#4-1 글 참고)가 성립하지 않으면 위 식도 성립하지 않는다 라는 것이다.

 

*4.3.3 The Fermi–Dirac Integral (페르미-디락 적분, 볼츠만 근사가 아닐경우)

원래 페르미-디락 분포함수가 포함된 평형상태 전자 농도식은 다음과 같다.

식의 간편화를 위해 두개의 \( \eta \)를 다음과 같이 정의한 후 식을 정리하면 다음과 같다.

eta 정의

정리된 평형상태 전자농도 식

여기서 우변의 적분항을 페르미-디락 적분이라고 한다. 이 적분함수는 \(\eta_F\)에 의해 값이 정해져 있는 함수로 표로 주어져 있다.

페르디-디락 함수 값

정공을 구할때도 같은 방법으로 진행하면 다음과 같이 결과를 얻을 수 있다.

 

 

4.3.4 Degenerate and Nondegenerate Semiconductors (축퇴와 비축퇴 반도체)

우리가 지금까지 다뤄온 외인성 반도체(extrinsic semiconductor)에 추가되는 impurity atoms의 수는 반도체 atoms 수에 비해 매우 적다고 가정했다. 이 경우 작은 수의 dopant들이 반도체 전반적으로 넓게 퍼져 dopant간의 상호작용은 없다고 가정할 수 있었다. 이러한 반도체들을 비축퇴 반도체(Nondegenerate Semiconductors) 라고 한다.

이와 반대로, 기존 반도체의 atoms 수와 비견될 만큼 많은 수의 impurity atoms가 도핑될 경우, 이들은 dopant간의 거리가 가까워져 상호작용을 시작하게 된다. 이럴경우, 초반에 양자역학 단원에서 배웠듯이 dopant atoms 끼리 간섭하게 되어 에너지 레벨이 분리되고 dopant 끼리 band를 형성하게 된다. 농도가 높아지면 band 역시 넓어지는데 농도가 유효 상태밀도(\(N_c\))와 비견될 만큼 높아지면 결국 dopant가 donor라면 전도대 ,acceptor라면 가전자대와 겹치는 부분을 형성하게 된다.(실리콘 기준 T=300K에서 \(2.5 \times 10^{19} cm^{-3}\)의 값) 더 나아가 dopant의 농도가 유효 상태밀도 이상의 농도가 된다면 dopant의 페르미 레벨은 전도대 또는 가전자대 내부에 형성된다. 이 경우의 반도체를 축퇴 반도체(Degenerate semiconductor)라고 한다. 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

축퇴 반도체의 페르미 레벨

(a) 그림의 경우 n-type의 축퇴 반도체의 전자 에너지를 나타낸 그림이다. 이 경우 전도대에서 \(E_F\)와 \(E_c\) 사이 구간에는 모든 상태에 전자가 채워져 있기 때문에 큰 전자밀도를 갖게 된다. 비슷하게, (b)의 그림에서도 \(E_F\)와 \(E_v\) 구간에는 정공이 채워져 있어 큰 정공 밀도를 갖게 된다. 
 이전에 도체/부도체/반도체를 가르는 기준에 대해 공부했을 때(물리전자개론#3-2 Introduction to the QuantumTheory of Solids) 전도대에 전자가 충분히 차있는 경우 도체로 분류했다. 축퇴반도체의 경우 이러한 경우와 비슷하기 때문에 도체만큼은 아니지만 이와 비견될 만큼 큰 전기전도도를 갖게 된다.

 

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4.4 | STATISTICS OF DONORS AND ACCEPTORS (Donors Acceptors 통계)

이전에 그랬듯, 이제 donor와 acceptor에 대해서 통계역학을 적용해 볼 것이다.

4.4.1 Probability Function (확률 함수)

 Fermi-Dirac 분포함수 때처럼, dopant들도 페르미 입자로 파울리 배타원리를 깔고 들어간다.(#3-3 Introduction to the QuantumTheory of Solids 3.5참고) Si에 5족 원소인 P를 도핑했다고 가정하자.
 전자가 donor state를 차지할 경우의 확률 함수는 다음과 같다.(donor 에 의한 state에 있는 전자의 밀도)

\(E_d\)는 donor의 에너지 레벨, \(N_d\)는 donor 수, \(n_d\)는 donor level에서 전자의 밀도를 의미한다. 분자의 확률함수 앞의 \(\frac{1}{2}\)는 전자의 spin에 의한 값이다. 이는 가끔 \(\frac{1}{g}\)로도 쓰는데 이는 degeneracy factor를 의미한다(반도체 구조에 따라서 2이상의 값을 갖는다) 
전자 밀도는 주어진 donor의 수에서 이온화 된 donor의 수를 뺀 것과도 동일하다. 이를 식으로 나타내면, 

여기서 \(N_d^+\)는 이온화된 donor를 의미한다. 비슷한 방식으로 정공의 밀도도 나타낼 수 있다.

일반적으로, Si 과 GaAs에서는 바닥상태에서 축퇴 인자(g)가 4를 갖는다.

 

 

4.4.2 Complete Ionization and Freeze-Out (완전 이온화와 동결)

우리는 이때까지 dopant들의 완전 이온화를 가정했다. 물론 실제로 100K 이상정도 되면 전자는 이온화하기에 충분한 에너지를 갖게 되지만 그 이하의 온도에서는 일부 이온화가 되지 않는 전자들이 생기기 시작한다.

우선 위에서 살펴본 donor state에서의 전자 밀도에 볼츠만 근사를 적용해보자.(\( E_d -E_F >> kT\))

그리고 평형상태에서의 전자밀도는 다음과 같이 배웠었다.

이제 이 둘을 합쳐서 전도대와 donor level 에 있는 총 전자수에 대한 donor level에 있는 전자의 비율을 구해보자.

이고 exp항을 정리하면,

상온에서는 모든 전자가 이온화(completely ionization) 되어 전도대로 가기 때문에 \(n_d\)의 값은 0이 된다. (Acceptor인 경우도 마찬가지) 반대로 T=0K 인 경우에는 어떠한 전자도 이온화 되기 위한 에너지를 얻지 못하기 때문에 도핑된 모든 donor의 전자는 donor level에 존재하게 된다. 즉, \(n_d=N_d, N_d^+=0\)이 된다. 또한, 항상 donor 레벨이 페르미 레벨보다 밑에 존재한다는 의미기도 하다. 

T= 0K 에서의 에너지 레벨

완전 이온화인 상온과 동결인 0K 사이에서는 부분 이온화가 일어나게 된다. 이 경우 전자밀도 그래프는 다음과 같게 되며 추후 다시 배울 것이다.

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