물리전자개론#3-2 Introduction to the Quantum Theory of Solids(E-k 그래프, 전류, 유효질량,정공,도체/반도체/부도체 구분)

 

 

3.2 | ELECTRICAL CONDUCTION IN SOLIDS

우리는 기본적으로 반도체 물질에서의 전류-전압특성을 알아보는 것이 목표이다. 따라서 이전 강의에서 배웠던 Band theory를 사용하여 전자의 움직임 부터 알아볼 것이다.

3.2.1 The Energy Band and the Bond Model

 T=0K 인 상황에서는 모든 입자가 안정한 상태로 존재하지만 우리가 사는 세상은 그렇지 않다. 온도가 존재한다는 것은 그만큼의 에너지가 존재한다는 것이기 때문에 입자들은 다양한 에너지 상태를 가지고 있다. 비슷한 예시로 맥스웰-볼츠만 분포를 생각해보자.

맥스웰-볼츠만 속도 분포

일반적으로 특정 온도에서 입자들은 위와 같은 속도분포를 가진다. 입자의 속도는 곧 운동에너지이므로 X축을 에너지라 보아도 무방하다. 전자도 마찬가지로 특정 온도에서 다양한 에너지 분포를 가지는데 그중에서 과한 에너지를 가지는 일부는 전자간의 결합에너지를 이겨내고 탈출하는 경우도 존재할 것이다. 그러면 탈출한 전자가 있던 공간은 빈공간이 되고 탈출한 전자는 자유롭게 돌아다닐 것이다. 이 경우를 표현하면 아래 그림과 같다.

(a) Two-dimensional representation of the breaking of a covalent bond. (b) Corresponding line representation of the energy band and the generation of a negative and positive charge with the breaking of a covalent bond.

  이 상황을 E-k 표로 나타낸다면 다음과 같다. (b)에서 전자는 하늘색 동그라미이며 원래 있던 공간은 빈공간(hole)이 된다. 이 빈 공간을 hole이라고 하며 전자와 같이 입자로 표현하게 된다. 전자가 원래 있어야 하지만 없어진 공간이므로 전기적 특성은 전자와 반대성향을 띈다. 

(a) T=0K 일때 (b) T>0K 일때 E-k diagram

 

3.2.2 Drift Current

 전류는 전자의 흐름이다. 전류는 단면적에 비례하므로 우리는 이 요소를 제외하고 전자에 관련된 요소만 보고 싶기에 전류밀도 J에 대해서 볼 것이다. 전류밀도 J는 \( J=qNv_d \) (q는 전하, N는 입자의 부피밀도, \(v_d \)는 평균 속도)이라고 표현 가능하고 또는, 평균속도 대신 모든 입자의 속도를 적용하여 \( J=q\sum_{i=1}^{N}v_i [A/cm^2]\) 라고 표현 가능하다. 반도체에서의 전류를 생각해보자. 전자가 결합해 있는 상태면 이동하지 못하므로 conduntion band에 있는 전자만이 전류에 기여할 것이다. 여기서 전류의 크기를 결정하는 요소는 전자의 속도만이 있다(전자의 전하는 고정). 이는 외력에 의해 결정되는 요소이다.( \( dE= Fdx = Fvdt\) )
 추가적으로, 후에 diffusion current를 배울 때 drift current와 개념이 혼동 될 수도 있다. drift current는 외력에 의해 입자가 이동하여 발생하는 전류이고 diffusion current는 말 그대로 입자가 내부적으로 평형을 맞추기 위해 diffusion 움직임에 의한 전류이다.

3.2.3 Electron Effective Mass

 이제 전자의 움직임을 기술할 때 '유효 질량'이라는 개념이 등장한다. 자유공간에서 전자의 질량과 결정 내부에서의 전자의 질량이 달라지므로 유효질량을 사용해야 한다. 유효 질량은 알짜힘에서 외력에만 의한 질량값이다. 식으로 표현하면, 뉴턴의 제2법칙에서 \( F_{net} = F_{ext} + F_{int} = ma \) 이고 \( F_{net}-F_{int} = F_{ext} = m^*a\)가 된다.
아니 질량이면 고유한 값이지 이게 뭐가 달라지는 거냐? 할 수도 있다. 간단한 예시로 물에 잠긴 쇠구슬과 일반 쇠구슬을 생각해보자.

두 쇠구슬의 질량은 모두 100이라고 하자. 무게는 지구 중력에 의해 측정되므로 일반적인 상태에서 100g이다. 하지만 물에 잠긴 쇠구슬의 경우 부력에 의한 무게만큼 감소할 것이다. 물 속에서 무게를 재보았을 때 쇠구슬의 무게는 5g이었다. 하지만 물 속에 있다고 쇠구슬이 감소한 것은 아니기에 우리는 여전히 두 쇠구슬의 무게는 100g이라고 할 것이다. 유효질량은 내력을 제외하고 외력에만 의한 무게를 유효 질량이라고 한다. 이 경우 외력은 지구 중력, 내력은 부력이므로 쇠구슬의 유효질량은 5g이 아닌 100g이 되는 것이다.

결정 내부에서 전자는 양이온이나 원자핵, 같은 전자끼리 정전기력을 주고 받는다. 외력이 일정해도 이러한 힘들에 의해 전자가 외력으로부터 직접적으로 받는 영향이 달라지며 이를 유효 질량으로 표현하는 것이다. 이로인해 동일한 외력이라고 해도 결정방향에 따라 전자의 유효핵전하는 달라지기도 한다 (ex: strained Si). 
E,k와 관련해서 유효질량을 표현하자. E를 k에 대해 두번 미분한 결과를 정리하면 다음과 같다.

이 식을 정성적으로 해석해 보자면 유효질량은 E-k diagram에서 곡률에 반비례 한다는 것을 알 수 있다. 즉, k의 변화에 대해서 E의 기울기의 변화가 클 수록 유효질량은 작다는 것이다. 비유하자면, 질량(m)이 큰 공과 작은공이 있는데, 일정한 힘(=k)을 가할 경우 질량이 작은공의 속도 변화량(=E)이 더 큰 상황과 비슷하다.
 

 

3.2.4 Concept of the Hole

이전에 간단하게 언급했지만, valance band에서 전자가 에너지를 받아 conduction band로 이동한 경우, valance band에는 해당 전자가 있었던 곳에 '빈 공간'이 형성된다. 이 '빈 공간'은 입자처럼 행동하며 양의 전하를 가진다. 이를 '정공'(hole)이라고 한다. 정공은 양의 전하를 가진 입자처럼 행동하기 때문에 전류에 기여하게 된다. 따라서 이전의 전류에 기여하는 '전하를 가진 입자'는 전자와 정공이 된다. 따라서 전류 밀도 식 \( J=q\sum_{i=1}^{N}v_i [A/cm^2]\) 은 다음과 같아진다.

여기서 속도는 E를 k에 대해 한번 미분하면 다음과 같이 정리된다.(\( E=p^2/2m, p=h_bar k \))

여기서 속도는 E-k diagram에서 기울기에 비례함을 알 수 있다.

-(추가)Parabolic Approximation, 포물선 근사

E-k diagram을 해석하는 것은 매우 중요한데, 조금 더 용이한 해석을 위해 E의 top 또는 bottom 부근을 포물선이라고 가정하고 해석하는 경우가 많다. \( E - E_c = C_1k^2 \)로 놓고 유효질량이나 가속도등을 근사할 수 있다.

(자세한 내용은 생략) 결과를 보면 valance band 의 top부분에서 유효질량을 계산하면 음의 질량이 나옴을 알 수 있는데, 이는 정공(hole)이 전자가 있었던 empty space를 입자화 한 것으로 전자와는 모두 반대의 성질을 띄기 때문이다.

 

3.2.5 Metals, Insulators, and Semiconductors

-부도체: \( E_g \)이 매우 큼 (>3.5~6eV)
-반도체: \( E_g \)이 적당히 큼 (<3~4 eV)
-도체: 이미 conduction band에 전자가 차있음, 또는 \( E_g \)가 없거나 작음

이제 band에 대해 간략히 배웠으니 이 이론을 사용하여 도체,반도체,부도체를 설명해보자. 이제 전류가 흐른다는 의미는 conduction band에 전자가 채워져 있다는 것을 의미하고 여기에 전자가 존재하지 않을 경우 전류는 흐르지 않게 된다. 앞서 말했듯이 T>0K일 경우 valance band에 있는 전자 중 높은 에너지를 갖는 전자들은 conduction band로 전이될 수 있다. 다만 conduction band와 valance band의 energy gap의 크기보다 더 큰 에너지를 가져야 한다. 바꿔 말하면, 이 energy gap이 클 경우, conduction band에 전자는 존재하지 않거나 매우 적게 존재하므로 전류가 흐르지 않는다. 이를 부도체라고 한다. 같은 원리로 이 크기가 애매하여 전자의 에너지에 따라 전이 될 수도, 안될 수도 있다면 반도체가 된다.

반면 도체는 2가지 경우가 존재한다. (a)처럼 밴드갭 에너지가 존재하지만 이미 전자가 conduction band에 충분히 차 있는 경우, 또는 band가 겹쳐서 \( E_g \)가 존재하지 않는 경우가 있다. (a)의 경우 이미 수많은 전자가 conduction band에 있으므로 전도도가 매우 높다는 특징이 있다.

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3.3 | EXTENSION TO THREE DIMENSIONS

이 때까지는 2D에서의 E-k diagram만 봤지만 실제 결정들은 3D로 존재한다. (결정의 종류에 따라) 결정 방향마다 구조가 다르므로 E-k diagram도 달라지게 된다. 예로 FCC 구조의 경우 [100] 방향과 [110]방향에서의 입자 배치가 다름을 알 수 있다. GaAs와 Si의 E-k diagram을 살펴보면 아래 오른쪽 그림과 같다. 좌측은 [111], 우측은 [100] 방향으로의 E-k 관계를 나타낸다.
 추가적으로 알아야 할 것은 conduction band의 bottom과 valance band의 top이 같은 k상에 존재할 경우 direct bandgap(GaAs), 그렇지 않으면 indirect bandgap(Si)이라고 한다. 이는 전자가 conduction band로 올라갈 때의 에너지 양과 관련이 있는데, Indirect의 경우 \( \delta k \)로 인한 추가 E가 필요하게 되어 양자효율이 낮아진다. 이와 같은 Si의 indirect bandgap은 Si가 발광소재로 쓰이기 어렵다는 점을 시사한다.

(좌) FCC의 원자배열 (우) (a) GaAs (b)Si의 E-k diagram

 Si의 전체 3D 구조에 대한 E-k 도표를 확인하고 싶으면 다음과 같다. 좌측은 Si의 k-space 삼차원 구조이며 우측은 원점인 \( \Gamma  \)를 기준으로 각 방향에 대한 E-k diagram을 나타낸 것이다.
 간단히 해석하자면, 우측 그래프의 원점에 위치한 L 점에서 시작하여 초록색 점선방향인 \(\Lambda \)방향으로의 E-k 관계가 시작된다. 그 후, \(\Gamma \) 점에 도착하여 초록색 점선 \(\Delta \)방향으로 진행, X점에 도착하게 된다. 이 과정을 반복하면 우측 그래프를 구할 수 있다.

(좌) Si의 Brillouin zone (우) 원점에서 각 벡터 방향에 따른 E-k diagram

 

3.3.2 Additional Effective Mass Concepts

 유효 질량의 해석을 위의 GaAs와 Si에 적용시켜 보자. conduction band의 극소점에서 곡률을 살펴보면 GaAs가 더 큰 것을 볼 수 있다. 유효 질량은 이전에 곡률에 반비례한다고 배웠으니 GaAs의 전자의 유효질량이 Si보다 작음을 알 수 있다.

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