물리전자개론#2-2 Introduction to Quantum Mechanics(1차원 슈뢰딩거 방정식, particle in a box, 경계조건)

1차원 슈뢰딩거 방정식

$$ \frac{\partial^2 \psi(x) }{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^{2}}(E-V(x))\psi(x)=0 $$

를 사용해서 다양한 환경에서 1전자 원자에 적용시켜보겠다. 

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2.3 APPLICATIONS OF SCHRODINGER’S WAVE EQUATION

(A) Free space

자유공간(Free space)는 입자에 작용하는 힘이 없는 공간을 의미한다. 앞으로 자유공간이라 함은, potential energy가 0인 공간을 의미한다. 자유공간에서 슈뢰딩거 방정식은, 

$$ \frac{\partial^2 \psi(x) }{\partial x^2}+\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi(x)=0 $$

이고 2차 ODE의 general solution에 의해 파동함수의 해는 다음과 같다.(해를 구하지 못할 경우 응용미분방정식 복습)

$$ \psi(x)=A\mathrm{exp}(jkx)+B\mathrm{exp}(-jkx) ,  k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

k는 파수(wave number)이고 단위는 [rad/m] 이다. \( E= \frac{p^2}{2m}, \lambda=\frac{h}{p} \)에 의해 \( k=\frac{2\pi}{\lambda} \)가 성립한다. well-defined Energy는 \(\lambda\)와 p를 결정함을 알 수 있다. 

 

(B) The Infinite Potential Well 

Potential function of the infinite potential well.

Potential Energy가 0인 region이 무한인 region에 둘러쌓인 우물(well) 형태이다.

Region 1,3은 potential energy가 무한하다. 입자의 총 에너지량 E는 유한하므로 슈뢰딩거 방정식을 성립시키기 위해서는 파동함수 \(\psi(x) \)가 0이어야 한다. 따라서 이 영역에서 입자의 존재확률은 '0'이다(존재하지 않는다).

Region 2는 앞서 다루었던 free space이다. 이 영역에서 파동함수의 특수해를 구하면,

$$\psi(x)=A\mathrm{cos}(kx)+B\mathrm{sin}(kx)$$

상수 A,와 B를 알기 위해서는 Boundary condition을 적용해야 한다.

1. x=0,a에서 \( \psi(x) = 0 \)

2. normalization ( \( \left|\Psi (x,t) \right|^2=\Psi (x,t)\Psi^* (x,t)=\left|\psi(x) \right|^2 \) )

[Boundary Condition 1]

x=0 일 때: \( \psi(x)=0=A\mathrm{cos}(kx) \therefore A=0 \)

x=a 일때: \( \psi(x)=0=B\mathrm{sin}(ka) \therefore ka=n\pi \)

[Boundary Condition 2]

\( \int_{0}^{a}B^2\mathrm{sin}(\frac{n\pi x}{a}) dx = 1 \therefore B=\sqrt{\frac{2}{a}} \)

 

Infinite potential well에서의 1전자 원자의 파동함수를 정리하면 다음과 같다

$$ \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\mathrm{sin}(\frac{n\pi x}{a}), k_{n}=\frac{2mE_n}{\hbar}=(\frac{n\pi}{a})^2 \therefore E_n=\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2ma^2} $$

 

고전역학과 양자역학

일반적으로 고전역학에서 에너지는 연속적이다. 그러나 길이(a)가 매우 작은 공간에서 에너지는 정수 n에 따라 이산적으로 분포해있다(양자화 되어있다). 고전역학에서는 a가 매우 큰 세계이므로 이웃한 에너지간의 차이가 무시할 정도로 작아 연속적이라고도 해석할 수 있다. 그러나 nm scale의 양자역학에서는 에너지가 띄엄띄엄 존재한다는 사실을 항상 인식해야한다. 

Particle in an infinite potential well: (a) four lowest discrete energy levels, (b) corresponding wave functions, and (c) corresponding probability functions

 

(C) The Step Potential Function

The step potential function

이번에는 유한한 potiential \( V_0\)를 갖는 영역에 입자가 입사하는 경우이다. 입자는 파동의 성질도 띄므로 전기자기학에서 비슷한 경우를 생각해 보면 굴절률이 다른 매질로 입사하는 파장은 투과파와 반사파를 형성한다. 따라서 위의 입자 역시 투과와 반사를 할 것이라고 예측할 수 있다.

Region 1은 free space, Region 2는 potential =\( V_0 >E\)인 space이다. 각각 영역에서 따로 슈뢰딩거 방정식을 풀어준다.

$$ Region 1: \psi_1(x)=A_1\mathrm{exp}(jk_1x)+B_1\mathrm{exp}(-jk_1x),k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

$$ Region 2: \psi_2(x)=A_2\mathrm{exp}(-jk_2x)+B_2\mathrm{exp}(+jk_2x),k_2=\sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}} $$

Region 1에서 +k, -k는 입자의 방향을 의미한다. (Region 1의 해 중 \(A_1\mathrm{exp}(jk_1x)\)는 입사파,\(B_1\mathrm{exp}(-jk_1x) \)은 -x방향으로 향하는 반사파를 의미한다)

x=0에서 적용할 boundary condition은 물리전자개론#2-1 Introduction to Quantum Mechanics 마지막 부분에서 다뤘다. 

Condition 1. \( \psi(x) \)는 항상 유한하고(finite), 단일 값이며 연속이다. Condition 2. \( \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} \)는 항상 유한하고(finite), 단일 값이며 연속이다.

-Region 2에서 x가 +방향으로 무한히 간다면 \( \mathrm{exp}(jk_2x) \) 의 값은 발산하므로  \( B_2=0 \)이다. 

-x=0 에서 \( \psi_1(x=0)=\psi_2(x=0)\)이므로 \( A_1+B_1 = A_2\)이다.

-x=0에서 \( \frac{\partial \psi_1}{\partial x} =\frac{\partial \psi_2}{\partial x} \)이므로 \( jk_1A_1 - jk_1B_1= -jk_2A_2 \)이다.

위 경계조건에서 얻은 정보로 상수 \(A_2,B_1 \)을 \(A_1\)에 관한 항으로 표현하면, 

$$ A_2=\frac{2k_1(k_1-jk_2)}{k_1^2+k_2^2} A_1 , B_1=\frac{-(k_2^2+2jk_1k_2-k_2^2)}{k_1^2+k_2^2}A_1$$

여기서 반사파와 투과파의 확률밀도 함수는 각각 \( A_2A_2^*, B_1B_1^* \)로 표현할 수 있다.

반사율(Reflection ratio)

'고전역학'에서 반사율(Reflection ratio) 은 입사파에 대한 반사파의 비율로 정의된다.

$$ R=\frac{v_rB_1B_1^*}{v_iA_1A_1^*}, v=velocity $$

입사파와 반사파의 매질은 동일하므로 속력은 동일하다. 위에서 구한 값을 반사율 식에다 넣은 후 정리하면 반사율을 1.0이 되어 전반사를 의미한다. region2에서 potential barrier가 total energy E보다 클 경우 흡수 또는 투과되지 않는다는 결과를 의미한다(고전역학적 해석).

그러나 양자역학적 관점에서 보면, (Region 2에서) 슈뢰딩거 방정식을 푼 해의 투과파 성분의 계수는 0이 아니었다. 이는 \( V_0 >E\)조건에서도 투과파는 존재한다는 의미로 바로 위의 고전역학적 해석과 반대되는 결과를 보인다. (그렇다고 반사율이 1이 안된다는 것이 아니라 barrier 초반부에 감쇠되는 파동함수를 관측할 수 있다는 것이고 최종적으로는 모두 반사되어 반사율 1을 만족한다.)

 

(D) The Potential Barrier and Tunneling

The potential barrier function

양자역학의 꽃, tunneling 현상이다. 고전역학적으로는 총 에너지보다 높은 potential barrier를 통과하는 것은 불가능하지만 양자역학에서는 tunneling이라는 현상으로 존재하게 된다. 위에서 잠깐 보였듯이 \( e^{-kx}\)함수로 감쇠되기 때문에 1.barrier가 굵을수록, 또는 2.potential energy가 클 수록 tunneling하는 확률은 감소하게 된다.

(C)의 경우와 동일하게 각 영역에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀고 x=0,a 구간에서 동일하게 boundary condition을 풀어 각 region의 상수를 입사파에 대한 식으로 풀어 투과율(transmission coefficient)을 계산하면 된다. 과정이 동일하고 복잡하여 생략한다. 특수한 경우로 \( V_0>>E \)인 경우에 대해 투과율 T는 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$ T\approx 16(\frac{E}{V_0})(1-\frac{E}{V_0})\mathrm{exp}(-2k_{2}a) $$

 

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Potential well model은 다양한 곳에서 적용되고 있다. Quantum well이라고도 하는 이 형태는 dimension의 길이가 제한됨에 따라 나타나는 양자화 효과로 LASER나 LED등에서도 사용되며 Super lattice 구조로 하여금 bandgap energy를 설정하는 방법으로도 응용된다.

quantum well

 

super lattice

자주 사용되는 free space와 Infinite potential well(또는 1D-particle in a box) 에서의 파동함수와 에너지 식 외에는 꼭 암기할 필요는 없다. 반대로 말하면 (A),(B)에 대한 식은 외워주는 것이 편리할 것이다. 나머지 부분에 대해서는 각 영역에서 슈뢰딩거 방정식을 전개하여 경계조건을 넣어 해결하는 방식과 터널링 효과가 어떻게 양자역학적으로 설명되는지만 이해하고 넘어가면 좋을 것이다.

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