물리전자개론#2-1 Introduction to Quantum Mechanics(입자와 파동의 이중성, 슈뢰딩거 방정식, 불확정성 원리)

Chapter 2 Introduction to Quantum Mechanics

<Preview>

■ Discuss a few basic principles of quantum mechanics that apply to semiconductor device physics.
■ State Schrodinger’s wave equation and discuss the physical meaning of the wave function.
■ Consider the application of Schrodinger’s wave equation to various potential functions to determine some of the fundamental properties of electron behavior in a crystal.
■ Apply Schrodinger’s wave equation to the one-electron atom. The result of this analysis yields the four basic quantum numbers, the concept of discrete energy bands, and the initial buildup of the periodic table.

keyword: 입자와 파동의 이중성, 슈뢰딩거 방정식, 1전자 원자, 주기성

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파동-입자 이중성 (Wave–Particle Duality)

  $$p=\frac{h}{\lambda }$$

드 브로이(de Broglie)에 의해 제시된 파동-입자 이중성은 모든 입자는 파동의 성질을 지닌다라고 해석할 수 있다. 여기서 p는 momentum으로 입자성을 의미하고 $\lambda$는 파장의 길이로 파동성을 의미한다. (h는 플랑크 상수)

 

불확정성 원리(The Uncertainty Principle)

$$\mathrm{\Delta }p\mathrm{\Delta }x\ge \frac{h}{2\pi }or\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t\ge \frac{h}{2\pi }$$

하이젠베르크  (Heisenberg)에 의해 제시된 불확정성 원리는 운동량(momentum)과 위치(position)은 동시에 '정확히' 관측할 수 없다는 내용이다.  $\mathrm{\Delta }p,\mathrm{\Delta }x$는 각각 운동량과 위치의 표준편차(불확정성)를 의미하고 이 값이 0인 것은 그 값을 '정확히' 관측했다는 것이다. 위 식에 의하면 관찰자가 임의의 입자를 관측했을때 운동량을 정확히 관측하여 $\mathrm{\Delta }p$가 0이라면  $\mathrm{\Delta }x$는 무한대로 발산하여 정확한 위치를 알 수 없다. 두개의 불확정한 값을 곱하면 $\frac{h}{2\pi }$ 값 이상을 가지며 어느정도의 불확정성을 항상 지니고 있다는 말이다. 다른 표현으로는 에너지와 시간의 관계로도 표현할 수 있다. (다만 책에 따라 불확정성 최소값은 $\frac{h}{4\pi }$로 표현하기도 한다. 그러나 값의 order가 작은 것이 main이므로 크게 신경 쓸 필요는 없다)

 

슈뢰딩거 방정식(SCHRODINGER’S WAVE EQUATION)

$$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{▽}^2+V)\mathrm{\Psi }=j\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$$

일반적인 경우에 대한 슈뢰딩거 방정식. 여기서 $\mathrm{\Psi }$는 위치와 시간에 대한 파동함수이다. 보통 1차원에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해를 구하는데 식을 풀기 위해 '위치와 시간은 서로 무관하다' 라는 가정을 한다. 이는 파동함수의 변수분리(separation of variables) 를 위함이다.

$$\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\varphi (t)$$

위 함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입하고 좌변을 x, 우변을 t에 관해 정리하면

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{\psi (x)}\frac{{\partial }^2\psi (x)}{\partial x^2}+V(x)=j\hslash \frac{1}{\varphi (t)}\frac{\partial \varphi (t)}{\partial t}=\eta$$

아까 가정에서 위치와 시간은 서로 무관(independent)하기 때문에 위 등식은 상수값($\eta$)을 가져야 한다. 시간에 관한 항을 풀면 다음과 같은 해를 구할 수 있다.

$$\varphi (t)=e^{-j(\eta /\hslash )t}$$

$\varphi (t)$는 일반적인 sinusoidal wave형태를 보인다. 따라서 $-j(\eta /\hslash )t=-j\omega t$ 의 관계를 갖게 된다. $\omega =E/\hslash$이기 때문에 결국 $\eta =E$, 즉 상수값은 에너지를 의미하게 된다.

조금 더 풀어서 설명하자면, 전기자기학 (Elements of Electromagnetic, 9장 Maxwell equation) 에 따르면, time-harmonic field에서 일반적인 sinusoidal wave를 phasor form은 다음과 같이 표현된다. $$A(x,y,z,t)=Re[A_s(x,y,z)e^{j\omega t}]$$ 1.파동함수 $\varphi$를 보면 $\omega$의 위치에 $\eta /\hslash$가 존재하므로 $\omega =E/\hslash$가 성립한다. 2.$\omega =2\pi \nu$ 이고 파동에너지는 $E=h\nu$이다. $\nu =E/h=E/2\pi \hslash$이므로 $\omega =E/\hslash$를 만족한다.  1과 2에 의해 $\omega =\eta /\hslash =E/\hslash$, 즉 $\eta =E$가 성립한다.

 

이를 이용해 위치에 관한 식을 정리하면,

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{\psi (x)}\frac{{\partial }^2\psi (x)}{\partial x^2}+V(x)=E$$

정리하면, 

$$\frac{{\partial }^2\psi (x)}{\partial x^2}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))\psi (x)=0$$

우리가 일반적으로 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 형태가 완성된다 (Time-independent Schrodinger's wave equation)

 

파동함수의 의미

위에서의 파동함수는 $\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\varphi (t)=\psi (x)e^{-j(\eta /\hslash )t}$인데 허수부가 존재하기 때문에 이 함수 하나만으로는 실제 물리적 의미를 내포하지 않는다. 따라서 Max Born는 파동함수를 파동함수의 conjugate function과 곱하여 허수부를 제거한 값을 '확률 밀도 함수(Probability density function)'을 제시하였다.

$${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2=\mathrm{\Psi }(x,t){\mathrm{\Psi }}^{\ast }(x,t)={|\psi (x)|}^2$$

고전역학과 양자역학의 가장 큰 차이점은, 고전역학에서는 위치를 정확히 표현할 수 있었지만 양자역학에서는 확률함수로 표현된다는 것이다(불확정성 원리). 따라서 전자가 '어디 포인트에 위치한다' 가 아닌 '어디 포인트에 존재할 확률'이라고 표현한다. 어디에나 있고 어디에도 없는 것이다

위 파동함수는 위치에 대한 확률 밀도 함수이기 때문에 모든 위치에 대해 적분하면 그 값은 1이어야 한다 (어떻게든 어디에 존재하므로). 따라서 정규화(normalize)하면 항상 그 값은 1이다.

$${\int }_{\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}{|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^{2}dx=1$$

이 값은 하나의 boundary condition으로 항상 성립해야 한다. 그 외에도 2개의 boundary condition이 존재한다.

Condition 1. $\psi (x)$는 항상 유한하고(finite), 단일 값이며 연속이다.

Condition 2. $\frac{\partial \psi (x)}{\partial x}$는 항상 유한하고(finite), 단일 값이며 연속이다.

앞으로 위의 조건들을 사용하여 다양한 환경에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 것이다.

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