물리전자개론#2-1 Introduction to Quantum Mechanics(입자와 파동의 이중성, 슈뢰딩거 방정식, 불확정성 원리)

Chapter 2 Introduction to Quantum Mechanics

<Preview>

■ Discuss a few basic principles of quantum mechanics that apply to semiconductor device physics.
■ State Schrodinger’s wave equation and discuss the physical meaning of the wave function.
■ Consider the application of Schrodinger’s wave equation to various potential functions to determine some of the fundamental properties of electron behavior in a crystal.
■ Apply Schrodinger’s wave equation to the one-electron atom. The result of this analysis yields the four basic quantum numbers, the concept of discrete energy bands, and the initial buildup of the periodic table.

keyword: 입자와 파동의 이중성, 슈뢰딩거 방정식, 1전자 원자, 주기성

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파동-입자 이중성 (Wave–Particle Duality)

  $$p=\frac{h}{\lambda} $$

드 브로이(de Broglie)에 의해 제시된 파동-입자 이중성은 모든 입자는 파동의 성질을 지닌다라고 해석할 수 있다. 여기서 p는 momentum으로 입자성을 의미하고 \( \lambda \)는 파장의 길이로 파동성을 의미한다. (h는 플랑크 상수)

 

불확정성 원리(The Uncertainty Principle)

$$\Delta p\Delta x \geq \frac{h}{2\pi}  or \Delta E\Delta t \geq \frac{h}{2\pi}$$

하이젠베르크  (Heisenberg)에 의해 제시된 불확정성 원리는 운동량(momentum)과 위치(position)은 동시에 '정확히' 관측할 수 없다는 내용이다.  \( \Delta p , \Delta x \)는 각각 운동량과 위치의 표준편차(불확정성)를 의미하고 이 값이 0인 것은 그 값을 '정확히' 관측했다는 것이다. 위 식에 의하면 관찰자가 임의의 입자를 관측했을때 운동량을 정확히 관측하여 \( \Delta p \)가 0이라면  \( \Delta x \)는 무한대로 발산하여 정확한 위치를 알 수 없다. 두개의 불확정한 값을 곱하면 \( \frac{h}{2\pi} \) 값 이상을 가지며 어느정도의 불확정성을 항상 지니고 있다는 말이다. 다른 표현으로는 에너지와 시간의 관계로도 표현할 수 있다. (다만 책에 따라 불확정성 최소값은 \( \frac{h}{4\pi} \)로 표현하기도 한다. 그러나 값의 order가 작은 것이 main이므로 크게 신경 쓸 필요는 없다)

 

슈뢰딩거 방정식(SCHRODINGER’S WAVE EQUATION)

$$ (-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigtriangledown ^{2}+V)\Psi=j\hbar\frac{\partial \Psi }{\partial t} $$

일반적인 경우에 대한 슈뢰딩거 방정식. 여기서 \( \Psi \)는 위치와 시간에 대한 파동함수이다. 보통 1차원에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해를 구하는데 식을 풀기 위해 '위치와 시간은 서로 무관하다' 라는 가정을 한다. 이는 파동함수의 변수분리(separation of variables) 를 위함이다.

$$ \Psi(x,t)=\psi (x)\phi (t)  $$

위 함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입하고 좌변을 x, 우변을 t에 관해 정리하면

$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{\partial^2 \psi(x) }{\partial x^2}+V(x)=j\hbar\frac{1}{\phi(t)}\frac{\partial \phi(t) }{\partial t} =\eta $$

아까 가정에서 위치와 시간은 서로 무관(independent)하기 때문에 위 등식은 상수값(\( \eta \))을 가져야 한다. 시간에 관한 항을 풀면 다음과 같은 해를 구할 수 있다.

$$ \phi(t)=e^{-j(\eta/\hbar)t} $$

\( \phi (t) \)는 일반적인 sinusoidal wave형태를 보인다. 따라서 \( -j(\eta/\hbar)t = -j\omega t \) 의 관계를 갖게 된다. \( \omega =E/\hbar \)이기 때문에 결국 \( \eta = E \), 즉 상수값은 에너지를 의미하게 된다.

조금 더 풀어서 설명하자면, 전기자기학 (Elements of Electromagnetic, 9장 Maxwell equation) 에 따르면, time-harmonic field에서 일반적인 sinusoidal wave를 phasor form은 다음과 같이 표현된다. $$ A(x,y,z,t)=Re[A_{s}(x,y,z)e^{j\omega t}] $$ 1.파동함수 \( \phi \)를 보면 \( \omega \)의 위치에 \( \eta/\hbar \)가 존재하므로 \( \omega =E/\hbar \)가 성립한다. 2.\( \omega = 2\pi\nu \) 이고 파동에너지는 \( E=h\nu \)이다. \( \nu=E/h=E/2\pi\hbar \)이므로 \( \omega = E/\hbar \)를 만족한다.  1과 2에 의해 \( \omega=\eta/\hbar= E/\hbar\), 즉 \( \eta = E \)가 성립한다.

 

이를 이용해 위치에 관한 식을 정리하면,

$$  -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{\partial^2 \psi(x) }{\partial x^2}+V(x)= E $$

정리하면, 

$$ \frac{\partial^2 \psi(x) }{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^{2}}(E-V(x))\psi(x)=0 $$

우리가 일반적으로 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 형태가 완성된다 (Time-independent Schrodinger's wave equation)

 

파동함수의 의미

위에서의 파동함수는 \( \Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)=\psi(x)e^{-j(\eta/\hbar)t} \)인데 허수부가 존재하기 때문에 이 함수 하나만으로는 실제 물리적 의미를 내포하지 않는다. 따라서 Max Born는 파동함수를 파동함수의 conjugate function과 곱하여 허수부를 제거한 값을 '확률 밀도 함수(Probability density function)'을 제시하였다.

$$ \left|\Psi (x,t) \right|^2=\Psi (x,t)\Psi^* (x,t)=\left|\psi(x) \right|^2 $$

고전역학과 양자역학의 가장 큰 차이점은, 고전역학에서는 위치를 정확히 표현할 수 있었지만 양자역학에서는 확률함수로 표현된다는 것이다(불확정성 원리). 따라서 전자가 '어디 포인트에 위치한다' 가 아닌 '어디 포인트에 존재할 확률'이라고 표현한다. 어디에나 있고 어디에도 없는 것이다

위 파동함수는 위치에 대한 확률 밀도 함수이기 때문에 모든 위치에 대해 적분하면 그 값은 1이어야 한다 (어떻게든 어디에 존재하므로). 따라서 정규화(normalize)하면 항상 그 값은 1이다.

$$ \int_{\infty }^{-\infty }\left| \Psi(x,t)\right|^2dx=1 $$

이 값은 하나의 boundary condition으로 항상 성립해야 한다. 그 외에도 2개의 boundary condition이 존재한다.

Condition 1. \( \psi(x) \)는 항상 유한하고(finite), 단일 값이며 연속이다.

Condition 2. \( \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} \)는 항상 유한하고(finite), 단일 값이며 연속이다.

앞으로 위의 조건들을 사용하여 다양한 환경에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 것이다.

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