반도체소자 #7-1 PN 접합 - 공핍영역의 길이, 전기장, 확산 전위(Built in Voltage)

Chapter 7. PN Junction

이때까지 물리전자를 공부하면서 우리는 반도체를 구성하는 물질의 기초적인 특성에 대해 공부하였다. 전자와 정공, 평형상태, 페르미 에너지 레벨, 준 평형상태, 비평형상태, 외인성 반도체, p-type, n-type, 등등 이번 단원에서는 현대 반도체의 기본이 되는 구조인 PN접합에 대해 알아볼 것이다.  

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[7.0 Preview]

■ [가정] P,N 지역이 균일하게(uniformly) 도핑되어 있고 경계는 1차원 Step Junction을 이루고 있다. Majority carrier 농도는 doping 농도와 동일하다.
■ 평형상태에서의 PN접합 에너지 밴드를 알아 볼 것이다.
■ PN접합의 공핍층(Depletion region, Spcae Charge region)에 대해 알아볼 것이다.
■ 확산 전위(Built in potention)에 대해 알아볼 것이다.
■ PN접합에 역전위(Reverse bias)가 인가되었을때 공핍층의 특성에 대해 알아볼 것이다. 
■ PN접합의 항복 전압(Breakdown voltage)에 대해 알아볼 것이다.
■ 점진적으로 도핑(Gradually doped)된 PN접합의 특성에 대해 알아볼 것이다.

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[7.1 PN 접합의 기본 구조 ] - 공핍영역

PN접합의 기본 구조는 단순히 p-type 반도체와 n-type 반도체를 물리적으로 연결한 모양이다. 각각의 carrier농도는 아래 그래프와 같다고 할 때, 여기서 우리는 Step juntion을 가정한다 (전자와 정공의 농도차이가 경계면에서만 step function처럼 급격하게 바뀐다고 가정, 사실은 점진적으로 변화)

서로 다른 두 type의 반도체가 연결되면 다음 반응들이 순차적으로 일어난다.
1.P,N-Type 반도체의 carrier(전자, 정공)의 농도차이로 인한 diffusion
2.확산된 carrier들로 인한 전기장 생성
3.생성된 전기장에 의해 carrier들의 drift
*여기서 diffusion과 drift의 방향은 서로 반대이다.

상세히 설명해보면, 중성영역에서는 (또는 공간전하영역의 끝에서) p-type에서는 정공이 농도차이에 의한 확산으로 n-type쪽으로 이동하게 된다 (n-type에서 전자도 마찬가지). 전자와 정공은 전하를 가지고 있으므로 이동한 영역에서는 n-tpye이 (+)로 내부 전기장이 형성된다. 정공입장에서, diffusion에 의해서는 n-type으로 이동하려하지만 형성된 내부전기장에 의해 저지된다. 이렇게 diffusion과 drift가 평형을 이루게 되면 위와 같은 상황이 형성된다.(여기선 step junction을 가정하였기 때문에 carrier들이 극단적으로  이동한다. 실제 상황과 유사한 것은 후에 점진적으로 도핑된 반도체에서 후술할 예정)

이때, 각각 (+)와 (-)로 대전된 영역을 공핍영역(Depletion region) 또는 공간전하영역(Space Charge region)이라고 한다. 전하를 띈 입자(=dopant 이온)가 움직이지 않는다 해서 공간전하영역이라 하는데, 여기서 모든 mobile charge(전자,정공)들이 내부 전기장에 의해 없어졌다 해서 공핍영역이라고도 한다 (실제로는 존재하지만 majority 농도에 비해 매우 적음으로 근사 가능 - Depletion approx) 해당 영역의 모든 mobile carrier가 반대편으로 넘어갔다고 가정하였으므로 공핍영역에서 p 영역의 전자밀도는 n 영역에서의 전자밀도와 동일하다. 도핑농도 근사에 의해 \(N_d\)라고 표현 가능하다.

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[7.2 ZERO Applied Bias]

아무런 전압이 가해지지 않았을때 (열역학적 평형상태) 초기상태의 PN 접합은 어떤 특성을 가지게 되는지 알아보자.
(혹시모를 가정 2가지 - 1.doping 수준은 적당하다 = Boltzman 근사가 성립된다 , 2.전하들은 완전히 이온화된다 = 온도가 너무 낮지 않다)

 

7.2.1 확산전위 장벽 (Built in potential Barrier)

외부에서 아무런 힘이 가해지지 않고 열역학적 상태라고 가정했다. 이전 물리전자를 공부했을때 열역학적 평형상태라면 페르미 에너지 레벨이 하나로 균일하다고 배웠었다. 이러한 사실을 통해 PN접합의 에너지 밴드를 먼저 그려보자. 평형상태 이전의 에너지 밴드는 다음과 같다. 

p-type 에너지 밴드

p-type에서는 페르미 레벨이 가전자대쪽으로 이동할 것이고

n-type 에너지 밴드

n-type에서는 페르미 레벨이 전도대쪽으로 이동할 것이다. 이때, 진성 페르미 레벨과 차이는 농도에 비례한다.
좌/우의 페르미 레벨을 하나로 일치시켜야 하니까 페르미 레벨을 일직선상에 놓아보면,

중간에 비어있는 에너지 밴드를 자연스럽게 연결하면 결국 pn접합에서 에너지 밴드는 다음과 같아진다.

에너지 밴드는 전기장에의해 변할 수 있기 때문에 가운데 에너지 밴드가 휜 영역은 내부 전기장이 인가된 공핍영역 또는 공간전하 영역임을 알 수 있다. 이 때, p영역과 n영역의 전도대 가장자리의 차이로 인해 형성되는 potential을 확산전위, Built in Potential \(V_{bi}\) 이라고 한다. (*전압계로는 확산전위를 측정하지 못한다 - 반도체 폐 루프상에서는 전위가 0이기 때문)

확산전위는 단순하게 p type과 n type의 진성 페르미 레벨과의 potential 차이의 합으로 나타낼 수 있다. 

여기서 \(\phi \)는 각 영역에서 진성 페르미 레벨 \(E_{Fi}\)과의 potential 차이다. 이를 구하기 위해 각 영역에서 평형상태의 carrier 농도식을 살펴보자.

위 식에서 exp 항의 분자항에 전하량 e 를 곱하면 potential 차이값을 구할 수 있다. Majority carrier의 농도는 도핑 농도와 유사하다는 가정을 사용하면 potential 차이는 다음과 같다.

p-type에서도 동일한 방식으로 구해보면, (부호 주의!)

따라서 확산전위는 위 두식의 합이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 kT/e = \(V_t\)로 thermal voltage라고 하며 온도에 의한 전압으로 상온에서 약 0.0259V 의 값을 갖는다.
확산전위는 doping농도 (+온도) 에 의한 함수임을 알 수 있다. (진성 페르미 에너지 레벨과의 차이의 합인데 이 값은 농도에 따라 달라지기 때문)

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7.2.2 공핍영역에서의 전기장,전위

PN 접합에서 carrier들은 확산에 의해 내부전기장을 형성한다. 이 전기장의 세기를 구해보자. 기존의 가정 - 1.전하는 균등하게 도핑 2. step junction에 의해 공핍영역(-x_p ~ +x_n)에서 전하밀도 그래프는 다음과 같다. 공핍영역 가정에 의해 각 영역의 전하밀도는 도핑농도와 전하량의 곱과 같다.

공핍영역에서 전하밀도 그래프

전하밀도와 전기장의 관계는 푸아송 방정식으로 부터 구할 수 있다.

푸아송 방정식

p 영역에서 전기장을 구해보자. 푸아송 방정식으로부터 E를 x에 대해 적분하자.

적분상수 C1을 구하기 위한 경계조건을 생각해보자. x < -x_p인 영역은 중성영역이므로 전기장이 0일 것이다. 전기장은 연속이므로 x=-x_p에서 전기장이 0인 경계조건을 적용하면 전기장 식은 다음과 같다.

p 영역에서의 전기장

동일한 방법으로 n영역에서의 전기장을 구해보면, (경계조건 x=x_n일때 0)

n영역에서의 전기장

전기장은 연속이어야 하므로 x=0에서 두 전기장 값이 같아야 한다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

이를 그래프로 그려보면,

공핍영역에서 전기장

 

푸아송 방정식에서 전기장 - 전위 관계식을 사용해서 전위 그래프도 그려보자.

전위는 전기장을 x에 대해 적분한 값에 음수를 취한 값이다. 위 그래프를 적분한 다음에 음수를 취하면 대충 다음과 같은 그래프를 그릴 수 있다.

공핍영역에서 전위

p영역에서 경계조건은 전기장때와 유사하게 중성영역에서 전위가 0인 점이다.(전위는 상대적인 것이기 때문에 p 영역에서의 전위를 0이라고 가정한다) 적분 결과만 살펴보자면,

p영역에서 전위

n영역에서도 비슷하게 구할 수 있다. 다만 전기장을 구할 때와 다르게, 경계조건은 x=0일때로 설정한다. 그러면 전위 식은

n영역에서의 전위

p영역의 중성영역을 0이라고 가정했기 때문에 n영역의 중성영역에서의 전위가 확산전위값과 동일할 것이다. 이 때(x=x_n) 전위값을 구해보면,

확산전위 by 푸아송 방정식

이전에 농도에 의한 확산전위는 아래와 같다.

확산전위 by 농도

 

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7.2.3 공핍영역 넓이

이제 공핍영역의 넓이를 구해보자. 공핍영역은 중성영역이 아닌 모든 영역으로 정의할 수 있다.

위에서 푸아송 방정식으로 구했던 확산전위식을 보자

확산전위 by 푸아송 방정식

왼쪽에서부터 보면,
확산전위 - 농도와 온도를 알면 알 수 있는 값 / e 상수 / \(\epsilon \) 상수 / N 조절하는 값
이므로 x에 대한 이차방정식만 풀 면 각 영역의 공핍영역 거리를 구할 수 있을 것 같다.

그런데 x도 x_n이랑 x_p 두가지 종류가 있는데요?

 

전기장을 구하는 과정에서 x=0인 지점에서의 전기장 연속조건을 언급할 때, 농도와 길이에 대한 식을 하나 구할 수 있었다.

여기서 농도 N은 아는 값이니까 x_n도 x_p에 대한 식으로 표현할 수 있다. 따라서 두 식을 조합해서 x들을 구하면,

공핍영역의 길이는 두 값을 더한 값이므로 다음과 같다.

공핍영역의 길이

식이 복잡한데 굳이 외울 필요는 없고, 단지 '도핑 농도가 높아지면 공핍영역은 줄어든다'의 경향성만 알면 된다.
이 현상을 정성적으로 설명하자면; 도핑농도가 높을 경우 짧은 영역에서만 mobile carrier(전자,정공)들이 움직여도 그 양은 많기 때문에 강한 내부 전기장이 형성되기 때문에 적은 영역에서만 diffusion이 일어나도 diffusion과 drift의 평형이 빨리 맞춰지기 때문이다. 

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(#7-2에서 계속)

 

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