물리전자개론 #6-4 유전체 이완시간상수,Haynes–Shockley 측정법

6.3.4 유전체 이완시간상수(Dielectric Relaxation Time Constant)

위 그림처럼 접지되어 있는 n-type 반도체에 균일한 농도의 홀들이 한쪽에서 주입되는 경우를 생각해보자. 이 경우에 반도체는 어떻게 전기적 중성에 도다를 것이며 도달하기까지의 속도는 어떻게 될까? 이를 위해 아래 3개의 식을 보기로 하자.

1.푸아송 방정식으로 전기장과 전하밀도에 대한 식이다

2.옴의 법칙이다.  V=IR을 다른 형태로 표현한 식이다.

3.앞서 배웠던 연속방정식이다. 생성과 재결합에 대한 식은 제외하였다. 
3개의 식이 J와 E를 공유하므로 다음과 같이 연결할 수 있을 것이다.

$$ \bigtriangledown \cdot J=\sigma \bigtriangledown \cdot E=\frac{\sigma\rho}{\epsilon}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} \\$$

1차 미분방정식을 풀게되면 시간에 대한 전하밀도는 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

즉, 전하는 exp함수 형태로 변화하게 되고 exp 지수항에 있는 항을 시간상수로 하여금 dielectric relaxation time constant 라 정의한다.

전하의 relaxation time은 소자의 고유한 값 - 유전율과 전도도에 의해 결정됨을 알 수 있다.

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*6.3.5 Haynes–Shockley 측정법

측정대상: minority carrier mobility, lifetime, and diffusion coefficient 

반도체 소자의 특성은 캐리어의 종류,농도 그리고 속도에 의해 결정된다. Haynes–Shockley 측정법은 이러한 과잉 소수 캐리어들의 움직임을 알 수 있는 첫번째 실험이었다. 이 실험은 과잉캐리어가 생성된 지점으로부터 감지되는 지점까지의 도달하는 시간을 측정하는 실험이다. 실험 준비는 아래 그림과 같다.

n-type 반도체의 한 지점(A)에서 과잉 캐리어를 생성하여 측정지점(B)에 도달하기 까지의 시간을 측정하는 도안이다.
-좌측 상단에서 과잉캐리어 생성을 위한 \(V_{in}\) pulse가 들어오게 되며
-과잉 캐리어의 drift를 위한 기저 전기장을 생성하기 위해 우측 하단에 전압(\(V_1\)을 걸어주었고
-두 지점의 전류변화를 감지하기 위해 우측 상단에 검출기가 존재한다.

excess carrier pulse at terminal A at t = 0

(a) - 먼저 A지점에서 \(V_{in}\) pulse로 인한 과잉 캐리어 펄스가 주입된다.

excess carrier pulse versus time at terminal B for a given applied electric field

(b) - 그러면 기본적으로 가해진 전기장에 의해 과잉 캐리어들이 B지점을 향해 움직일 것이다. 위 그래프는 B지점에서 관측되는 시간에 따른 과잉 캐리어들의 그래프이다. 캐리어들은 저번에 유도했던 것처럼 exp항 형태로 움직이게 된다(물리전자개론 #6-3 켤례전하 전송방정식, 확산계수, 이동도, carrier 농도 그래프).

과잉 캐리어 펄스의 도달 시간 기준은 그래프의 peak가 도달하게 되는 지점 \(t_0\)를 의미한다. 

when less E-field

(c) - 동일하지만 더 작은 전기장이 가해졌을때의 그래프이다. 도달시간 t는 더 커지고 peak는 감소하게 된다. (힘이 약하니까 한번에 많은 것을 이동하지 못하니까 여러번에 걸쳐 적은 것을 이동시킨다고 이해하자)

 

[이동도, \(\mu\)]
자 그럼 peak가 도달하는 시간인 \(t_0\)를 구해보자. 저번에 구했던 거리,시간에 대한 과잉캐리어 식(\(\delta p(x,t)\))의 도함수 값이 0인 지점이 peak이므로 

이어야 한다. 여기서 x는 A지점과 B지점 사이의 거리로 설정했으므로 x=d가 된다. 기저 전기장 역시 설정하는 값이고 도달시간 t는 측정시간이므로 이를 통해 과잉 캐리어의 이동도를 측정할 수 있다.

 

[확산계수,D]

이제 확산계수를 구해보자. peak가 도달하는 시간인 \(t_0\)기준으로 과잉캐리어 농도가 \(e^{-1}\)만큼 감소되는 지점(보통 시간상수의 기준)을 각각 \(t_1, t_2\)라고 하자. 이때를 만족하기 위해서는 exp항의 지수부분이 -1이어야 한다.

exp항의 지수부분이 -1이 되기위한 조건

\(t_1, t_2\)의 시간 간격은 매우 짧으므로 그 동안 각 상수의 값은 동일한다고 가정한다. 위 식을 풀게되면 확산계수 D에 대한 식을 구할 수 있다.

 

[Lifetime]
과잉 캐리어의 lifetime은 캐리어들의 재결합률과 연관이 있다. 바로 위 그래프(확산계수 구하는 그래프)에서 아래 면적의 넓이는 주입된 과잉 캐리어의 농도와 비례한다. 식을 적분하여 면적에 대한 식을 나타내면 다음과 같다.여기서 K는 비례상수이다.

주입되는 과잉 캐리어농도를 변화시키면 S-\(d/\mu_p E_0\)에 대한 log-plot을 얻을 수 있다. 여기서 기울기는 \(\tau_{p0}\)이므로 기울기를 통해 lifetime을 얻을 수 있다.

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